概率統计第四章答案.doc

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第四章 随机变量的数字特征 教学要求： 一、理解随机变量数学期望和方差的概念，掌握数学期望和方差的性质与计算方法； 二、了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望及方差； 三、了解矩、协方差、相关系数的概念及性质，并会计算. 重点：数学期望与方差的概念和性质. 难点：相关系数． 练习一 一维随机变量的数字特征 1. 填空题 （1）将三个球随机地放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为 61/25 ． （2）若随机变量的分布律且，则，． （3）设随机变量，且，则, ． （4）已知连续型随机变量的概率密度为， 则 1 ， 1/ 2 ． （5）设随机变量表示10次重复独立射击命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为0.4，则． （6）设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则 1 ． 2．在射击比赛中，每人射击4次，每次一发子弹，规定4弹全都不中得0分，只中一弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分．某人每次射击的命中率为0.6．求他期望得多少分？ 解：设表示射击4次得的分数，则的所有可能取值为且 , , , , , 所以 3．设随机变量的概率密度为求． 解： 由于 则 4．已知随机变量的概率分布律为： -2 0 2 0.4 0.3 0.3 . 解： ; ; ; . 5．设随机变量X的概率密度为求（1）的期望；（2）的期望． 解：（1） （2） 6．对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球的体积的均值． 解：设球的直径为,球的体积为,则,且 于是 练习二 二维随机变量的数字特征 1.填空题 （1）设随机变量相互独立，方差分别为6和3，则 27 ． （2）设随机变量相互独立，，，则 2 ． （3）设随机变量相互独立，且, 则随机变量的概率密度=． （4）设随机变量与相互独立，且，服从参数为3的指数分布，则． （5）设二维随机变量的相关系数为，与的方差分别为，，则 61 ． 2．设随机变量的概率密度为 求 和． 解： ； ； ； 。 3．设随机变量相互独立,概率密度分别为 求． 解：由于随机变量相互独立, 则 . 4. 随机变量相互独立，并服从同一分布，数学期望为， 求这些随机变量的算术平均值的数学期望及相互独立，且 ， ,…， 于是由性质得 ， . 5．设连续型随机变量相互独立，且均服从求． 解：设,由于相互独立，且均服从则也服从正态分布，且 即～,于是 . 综合练习题 1．甲乙两台机床生产同一种零件，在一天生产中的次品数分别记为，已知的概率分布分别下表所示．如果两台机床的产量相同，问哪台机床较好？ 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 0.3 0.5 0.2 0 解：由于 , 则甲机床生产中的次品数的均值大于乙机床生产中的次品数，所以乙机床较好。 2．已知随机变量的概率密度为，求及 ． 解： ， . 3．某人每次射击命中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次命中目标为止，求射击次数的期望． 解：设射击次数为,则的分布律为 ，…；其中. 于是 . （提示：利用求幂级数的和函数的方法求数项级数的和） 4．设随机变量的概率密度为 求，． 解： ； ； ； ； ； . 5．设，求和． 解：由于 及 由条件知 , , 所以 , . 6. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障，可获利润10万元，发生1次故障，仍可获5万元，发生2次故障获利0万元，发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？ 解：设这部机器一周内有天发生故障，这一周的利润为万元。由题意知～,且 所以 . 7. 市场上对某商品需求量为，每售出1吨可得3万元，若售不出去而囤积在仓库中则每吨保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益最大？ 解：设商品的货源量为, 销售商品的收益为万元,依题意有 于是 ， 由于 令，得，且，所以当时，最大。 8．设X，Y相互独立，证明：． 证：因为 由于X，Y相互独立，则 , 又 , , 于是