概率統计第四章随机变量的数字特征.doc

第四章 随机变量的数字特征 知道了随机变量的概率分布也就知道了它的全部统计特性．然而，在许多实际问题中，随机变量的概率分布往往不易求得，也有不少实际问题并不需要我们知道随机变量的全部统计特性，而只需要知道它的某些主要统计特征．举例：学生成绩．首先要知道平均成绩，其次又要注意各个学生的成绩与平均成绩的偏离程度. 平均成绩越高，偏离程度越小，学生学习成绩就越好。 我们把表示随机变量某些特征的数值称为随机变量的数字特征，它们反映了随机变量的某些本质属性．许多重要的分布往往由这些数字特征唯一确定．本章主要介绍数学期望、方差、相关系数和矩． 第一节 数学期望 一 数学期望的定义 1. 引例 设有十个数字1，1，2，2，2，3，3，3，3，4 以表示平均值，则有 又可以写成。显然，这里的实际上是数字1，2，3，4在这十个数字中所占的份额，我们可以称之为这四个数字的“权重”，所以上式又可称为是1，2，3，4这四个数字的加权平均数。再换一个角度，设想这是十张写有数字的卡片，随机从中取出一张，观察到的数值为，则它是一个随机变量，它的可能取值为1，2，3，4，而它的分布律为： 因此，实质上就是随机变量的取值的平均数。受此问题的启发，引出如下数学期望的定义. 2．数学期望（Mathematical expectation）或均值(Mean)的定义 1）[定义] 设是离散型随机变量，其概率函数为 如果级数绝对收敛，则定义的数学期望为 ； 2）[定义] 设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分 绝对可积，则定义的数学期望为. 【注1】 数学期望即随机变量的平均取值，它是所有可能取值以概率为权重的加“权”平均． 考察随机变量的平均取值． 【注2】连续型随机变量的数学期望和离散型随机变量的数学期望的实质是相同的：相当于；相当于；相当于. 【注3】 物理解释：数学期望——重心．设有总质量为的个质点构成的质点系，记点在轴上的坐标为，质量为，求该质点系的重心坐标. 解：记质点系的重心坐标为，于是，这里是在点处的质量占总质量的比重，因此是以为权的加“权”平均． 例１ 甲、乙两人作射击比赛，命中环数分别为，它们的分布律分别为 问：哪一个射手的本领较好？ 解 （环） （环） 显然,，因此甲比乙的本领要好些． 例2 设随机变量X的密度函数为：，求． 解：. 二 随机变量函数的数学期望　 1.[定义] 设为离散型随机变量，其概率函数，为连续函数，且级数绝对收敛，则的函数的数学期望为 2．[定义] 设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分 绝对收敛，则的函数的数学期望为：. 例3.设离散型随机变量X的分布律如下，求：. X 0 1 2 P 3/10 6/10 1/10 解：. 例4.设风速X是一个随机变量，在[0，]上服从均匀分布，而飞机的两机翼受到的压力Y与风速X的平方成正比，即，，求：. 解：X的密度函数为，而，所以. 三 数学期望的性质 1. (其中c为常数)； 2. (其中c为常数)； 3. ； 4. 如果X与Y相互独立，则. 例4. 若X的数学期望E（X）存在，求： 解： 第二节 方差与标准差 一 方差（Variance）与标准差(Standard deviation)的概念 1．方差与标准差的定义 [定义] 设是随机变量，若存在，则称为的方差，记为或，即．随机变量的标准差定义为方差的算术平方根，记为． 从定义中可清楚地看出：方差实际上是随机变量X 的函数的数学期望，于是当为离散型随机变量，其方差为 ； 当为连续型随机变量，其方差为 . 【注1】方差描述的是随机变量取值的波动程度，或随机变量偏离均值的程度． 2.计算方差的简便公式： 利用数学期望的性质，可以得到： .因此，方差的计算常常用简便公式： 例1 设 ， 求： 解：=0； ；所以：. 二 方差的性质 1. (c是常数)； 2. (c是常数)； 3. (c是常数)； 4. 如果与独立，则 这个结论可以推广到有限个相互独立的随机变量的情况： 设相互独立，则有. 例2.设两个相互独立的随机变量与 ，它们的方差分别为4和2，求 解：. 例3. 随机变量X有，且已知求 解：由 ∴，故：. 三 常用分布的数学期望与方差 分布名称 数学期望 方差 0-1 分布 p p(1-p) 二项分布 np n p (1-p) 泊松分布π(l) l l 均匀分布 指数分布 Exp(l) 正态分布 N(m, s 2) m s 2 例4. 设随机变量X在区间上服从均匀分布，求 解： ， ； ； ∴