第七章母数的估计步骤.doc

社會統計 關秉寅 母數估計之步驟 (Estimation Procedures) 本單元目標： 說明估計的邏輯以及樣本、抽樣分配與母群體的角色。 定義及解釋偏誤（bias）與有效性（efficiency）的概念。 建構及解釋樣本平均數與樣本比例之信賴區間（confidence intervals）。 說明信賴水準（confidence level）、樣本大小，及信賴區間之間的關係。 前言 　　在了解了抽樣分配(sampling distribution)的概念及其兩個重要定理後，我們即可從事推論統計兩大任務之一：由樣本得到的統計值（statistic）來推估母群體之數值或母數(parameters)。在日常生活中常看到的民意調查或選舉調查，就是這種估計的運用。 估計的方法有兩種：一為點估計(a point estimate)，也就是從樣本得到的統計值來估計母群體的數值。如果您做了一個民意調查後，報告說全部選民中有42%的人會投給某候選人，此即為點估計的例子(就是估計有42%選民會投給此人)。另一為區間估計(an interval estimate)。此涉及信賴區間（confidence intervals）的估計步驟。信賴區間是估計在一個範圍內的數值，而非單一數值。如果您報告說大約有「39%到45%的選民」會投給某人，就是一種區間估計之例子。 參、偏誤（Bias）與有效性(Efficiency) 　　不論是點估計或區間估計，我們都是用樣本統計值(sample statistics)來做為推估母數之估計數(estimators)，那麼在我們目前所學的諸多統計值中，那一項是可用來當估計數呢？問此問題是因做為一個「好」的估計數要有兩大特性，一即為不偏性(unbiased)，另一為具有相當有效性(efficiency)。 Bias： 　　一個不偏的(unbiased)估計數是「若且唯若」(if and only if)，此估計數（即樣本統計值）之「抽樣分配」的平均數(mean)是與（此估計數所要推估之）母數相等。如我們上個單元已經學到的兩個定理，使我們知道算術平均數(eq \x \to(X))是一種具有此不偏性的，因為eq \x \to(X)（樣本平均數）之抽樣分配之平均數(eq \x \to(eq \x \to(X))或μ )即為μ（母群體之平均數）。 　　其次，我們已學到的樣本比例(proportion)也是有此特性，即Ps （樣本比例）之抽樣分配的平均數，μp，等於母群體之比例，Pμ。 　　要求一估計數有不偏性，最主要的理由是和此估計數之抽樣分配的特性有關。以樣本之平均數(eq \x \to(X))為例，其抽樣分配為一常態分配（為什麼？），且此分配之平均數為μ。因此，我們可知約有68%的樣本平均數是在μ ± 1σ的範圍內（見圖一），以此類推。例如，如果我們從一個社區500戶隨機樣本資料中，算出此社區家戶的平均每月收入是＄35,000，那麼我們可以推估此社區整個母群體的平均收入就是＄35,000。此外，由於平均數的抽樣分配是常態分配，所以我們還可知道，＄35,000這個估計數有68％的機率是在母群體的平均月收入加減一個σ的範圍內，有95％的機率是在母數加減兩個σ的範圍內。（在此例中的σ是多少？） 圖一　樣本平均數之抽樣分配各種面積 μ-3σ μ-2σ μ-1σ μ=μ μ+1σ μ+2σ μ+3σ (相對應於Z scores的樣本平均數) Efficiency ─ 　　所謂一個估計要有相當好的有效性(efficiency)，是說此估計數之抽樣分配之標準差要小，也就是說所有可能的此種樣本估計數應要集中在抽樣分配之平均數（即母數）附近。如我們已學到的，樣本平均數(eq \x \to(X))之抽樣分配的標準差(σ)是等於。由此公式可知，此σ之值和成反比，所以要σ小，就要增加N的數目。（要注意的是當N以某種倍數增加時，σ不是以同樣倍數減少，為什麼？） （＊在一些教科書中，除了提到好的估計數要有不偏性及有效性外，還提及一致性（consistency）這個概念。所謂一致性是說，當樣本數增大時，一個不偏的估計數與母數的差距會減小。） 肆、估計之步驟 　　點估計之步驟是相當簡單的，你只要確定樣本是以EPSEM抽樣方法取得的後，求得樣本之平均數或比例。用此樣本平均數或比例，即可推論母群體之平均數或比例和樣本是一樣的。當然，如果樣本越大，我們知道以樣本的估計數的有效性越好，也越可能是與母數相同。但要注意的是，不論抽樣方法如何嚴謹，樣本不論多大，估計數永遠有可能是非常不準的。 　　相對於點估計而言，區間估計是比較保險之估計法，因為我們是在推