13章数学归纳法极限排列组合.doc

（1）数学归纳法证明不等式： 求证：当n,2时，我就不说了。 假设当时成立，既成立， 那么当时， 由归纳假设，所以只需要证， 既只需要证①。 因为，所以（A） 因为由归纳假设， 成立，所以有 ，又，所以（B） 由（A），（B ）两式知①式成立。 由归纳法原理，成立。 Q:一三六一五三五七 （2）数列与数学归纳法证明数列不等式 前两个我就不求 (2)都是正数，直接两边除以两个的积（呵呵，看到了这就是常用处理） 那就有了，因为，所以 呵呵 ，则 （3）直接数学归纳法证。开始不说了。 假设，则当时。，考虑二次函数的单调性可得当时，函数增，所以 ，呵呵，下面只需要证 ，即可，很简单了，直接算。 这题我感觉能用数学归纳法来做应该是倒数第二道的档次。还有，利用递推关系证明不等式时，常常可以用数学归纳法，k到k+1那步就可以利用函数单调性，如我的方法。 3问另法放缩。 ．又所以又所以故= ∴ 综合以上知 （3）数学归纳法证明一个解不出的递推关系的通项。 已知数列中，，，求证，（m是非负整数） 分析：这题是一个数列递推关系问题，和以前我们能够解出的递推关系不一样，是无法求解的。不过看题目并不是要求通项，只是证明通项是一个给出的形式，故可采用归纳法证明。 证明：当时，，成立， 假设当n=k时，，p是非负整数。 那么当n =k+1时。 == =显然是非负整数， 所以命题成立。 (4)换元思想求函数极限 （5）第二数归和跳跃数归 法一.(第二数学归纳)当时，成立，为了后面方便，多算个n=2吧 假设当，时都成立，既 当时， 易知，又，所以上式 下只需要证即即 平方易得. 所以成立。（这里用假设，是因为直接用连续两项关系的话放缩方向始终不对） 法二.(跳跃数归) 假设,则 下证即即 平方易得,又容易验证n=1,n=2时成立,所以对一切n都成立. 还可以证明一个加强命题，就可以直接数归法了。 （6）组合 从集合｛1，2，3.....，15｝中取出4个不同的元素，其中一个元素的三倍等于其他三元素之和（如1，6，7，10，就是一种取法），则这样的取法种数有A106? ?? ?? ? B96? ?? ?? ?C155? ?? ? D125 抽三个数字，和为3的倍数，且三数不是等差数列。， 若三数来自不同类，则只能一类取一个则总数 则总共有30+125=155个。 但是这里面有很多是等差数列的，有多少个等差数列的情况呢？ 注意到只要三数成等差数列，则三数和一定是3的倍数，所以我们在算之前那155个的时候里面包含了所有的等差数列，则在1—15这些数里选三数成等差数列共有个，（只需要在7个偶数中选2个作为两头的数，等差中项就有了。8个奇数同样，或者按公差分类数也行，13+11+9+。。。+1=49） 所以满足条件的为155-49=106 （7）A={1,2,3,4,5},y=f(x)是定义在A-A上的函数,如果f[f(x)]=x,则f(x)共有几个要满足f[f(x)]=x,，则对于f（x）而言，也就是作用第一个f 时，要么就是1-1，2-2，3-3，4-4，5-5。也就是f（x）=x。这样满足条件的函数有1个另一方面，如果存在f（x0）不=x0，比如f（1）=2，那么必须f（2）=1才能满足条件，也就是说要交叉对应。但是这样一来就有可能只有一组是交叉其余3个对应自身，或者二组交叉对应剩下一个对应自身。故方法数是1+C52+C54*C42/2=26 f（f（x））=f（x）的映射个数。—1 2—2……，现在的问题就是B中用去多少个元素对应成了本身的问题。下就按这个分类 若B中用去k个元素，那么相当于A中的1---n要选出k个来对应本身，剩下的 m-k个就要全部对应到选出来那k个元素里去。方法数为 故所有方法数为 (9) （10）一个数矩形的排列组合 以包含这两个五星的为例，注意那个正方形。只要矩形包含那个正方形即可。但是不能包住剩下那颗星。那么考虑矩形的对角线的顶点，其中一个顶点只能取右上方得5个点，另外一个顶点只能取左下方得9个点。所以9*5=45个。 按照成比例的倍数分类，2倍3倍4倍C(12,3)-C(6,3)-C(4,3)-1=195