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均值不等式与柯西不等式专项训练.doc
均值不等式应用
一.均值不等式常用类型
1.(1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)
2. (1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)
(3)若,则 (当且仅当时取“=”)
3.若,则 (当且仅当时取“=”);
若,则 (当且仅当时取“=”)
若,则 (当且仅当时取“=”)
3.若,则 (当且仅当时取“=”)
若,则 (当且仅当时取“=”)
4.若,则(当且仅当时取“=”)
注:(1)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,
2017-03-21 约2.29千字 5页 立即下载
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柯西均值不等式的证明推广及其应用.doc
柯西均值不等式的证明推广及其应用
【摘要】 本文介绍了用反数学归纳法证明柯西均值不等式,并将该证明方法推广到证明乘幂平均数不等式,最后在柯西均值不等式的应用方面给出几个例子。
【关键词】 柯西均值不等式 反数学归纳法 乘幂平均数不等式 应用
高等数学里面一个最重要的主线就是极限,而极限的概念是用不等式刻划的,这就决定了不等式在高等数学中的重要性。柯西均值不等式就是高等数学中一类重要的不等式, 其证明方法也多种多样,历史上数学家柯西本人首次使用反数学归纳法来证明。反数学归纳法又称倒推归纳法,其基本思想如下:
若一个与自然数有关的命题t,如果
(1)命题t对无穷多个自然数成立;
(2)假设命题t对
2018-10-13 约1.7千字 4页 立即下载
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2018年高考备考+均值不等式和柯西不等式+含历年高考真题.doc
1、(2008江苏)设a,b,c为正实数,求证:.
2、(2010辽宁理数)已知均为正数,证明:,并确定为何值时,等号成立。
3、(2012江苏理数)已知实数x,y满足:求证:.
4、(2013新课标Ⅱ)设均为正数,且,证明:
(Ⅰ); (Ⅱ).
5、(2012福建)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m的值; (2)若a,b,c∈R,且eq \f(1,a) + eq \f(1,2b) + eq \f(1,3c) =m,求证:a + 2b +3c≥9
6、(2011浙江)设正数满足.
(1)求的最大
2018-10-04 约小于1千字 4页 立即下载
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经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式.doc
Mathwang
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几个经典不等式的关系
一 几个经典不等式
(1)均值不等式
设是实数
其中.当且仅当时,等号成立.
(2)柯西不等式
设是实数,则
当且仅当或存在实数,使得时,等号成立.
(3)排序不等式
设,为两个数组,是的任一排列,则
当且仅当或时,等号成立.
(4)切比晓夫不等式
对于两个数组:,,有
当且仅当或时,等号成立.
二 相关证明
(1)用排序不等式证明切比晓夫不等式
证明:由
而
根据“顺序和乱序和”(在个部分同时使用),可得
即得
同理,根据“乱序和反序和”,可得
综合即证
(2)用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”:
证明:构造两个数列
2018-09-29 约小于1千字 3页 立即下载
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6-4均值不等式.ppt
(了解基本不等式的证明过程/会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题/了解证明不等式的基本方法——综合法) 1.常用的重要的不等式 (1)a、b∈R,则a2+b2≥2ab; (2) (a,b∈R); (3)(a+b)2≥ 4ab (a、b∈R); (4)若ab0,则 ≥2. 1.制作一个面积为2 m2,形状为直角三角形的钢框架,有下列四种长度的 钢管可供选用,则最合适(既够用,又剩余最少)的长度为( ) A.7.2 m B.7 m C.6.8 m D.6.6 m 2
2018-01-23 约2.8千字 23页 立即下载
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柯西不等式柯西不等式.doc
柯西不等式1
☆学习目标: 1. 认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义;
2. 会证明二维柯西不等式及向量形式
?知识情景:
1. 定理1 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.时,由基本不等式: 2. 如果, 那么,
另一方面,有
?新知建构:
1. 柯西不等式:若,则.
当且仅当 时, 等号成立.
此即二维形式的柯西不等式.
2017-01-02 约1.41万字 38页 立即下载
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柯西不等式求最值.doc
柯西不等式求最值
1. 设a、b、c为正数,求的最小值
【答案】121
2.设x,y,z ? R,且满足x2 + y2 + z2 = 5,则x + 2y + 3z之最大值为
解(x + 2y + 3z)2 £ (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 5.14 = 70∴ x + 2y + 3z最大值为
3.设x,y,z ? R,若x2 + y2 + z2 = 4,则x - 2y + 2z之最小值为 时,(x,y,z) =
解(x - 2y + 2z)2 £ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4.9
2017-04-20 约2.06千字 7页 立即下载
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柯西不等式导学案.doc
柯西不等式学案 刘才华 2013. 5.31
一、二维的柯西不等式: 若, .
当且仅当 时, 等号成立. 若,则;
变式20. 若,则为任意实数,则:
变式40(柯西不等式的向量形式)设是两个向量,则 .
二、三维的柯西不等式:若, 则 . 当且仅当 时, 等号成立.
维的柯西不等式的一般形式: 设为大于1的自然数,(1,2,…,),则: 即
2017-03-20 约2.87千字 3页 立即下载
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柯西不等式试题.pdf
柯西不等式试题
一、选择题(本大题共 4 小题 )
+
1. 设 a, b,c ∈R ,且 a+ b+c =1,则 a+ b+ c 的最大值是 ( )
A.1 B. 3 C.3 D.9
2 2 2
2019-08-12 约9.07千字 4页 立即下载
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柯西不等式习题.doc
柯西不等式教学题库大全
一、二维形式的柯西不等式
二、二维形式的柯西不等式的变式
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对a^2 + b^2 + c^2,并不是不等式的形状,但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法
(1)巧拆常数:
例1:设、、为正数且各不相等。求证:
(2)重新安排某些项的次序:
例2:、为非负数,+=1,求证:
(3)改变结构:
例3、若 求证:
(4)添项:
例4:求证:
【1】、设,则之最小值为__
2017-02-09 约3.73千字 6页 立即下载
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对数均值不等式.pptx
汇报人:汇报时间:对数均值不等式
对数均值不等式的定义和性质对数均值不等式的证明对数均值不等式的应用
对数均值不等式的扩展形式对数均值不等式的实际案例
01对数均值不等式的定义和性质
定义对数均值不等式的定义为:对于任意正实数$a_1,a_2,...,a_n$,有$\frac{1}{n}\log(a_1a_2...a_n)\geq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\loga_i$。其中,等号仅在所有$a_i$相等时成立。
性质传递性:若$ab0$,$cd0$,则$\log(a/b)\log(c/d)$。有界性:对于任意正实数$a$,有$\loga\geq1$。对数均值不等式具有
2023-12-17 约2.24千字 21页 立即下载
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34均值不等式.ppt
第三十四讲均值不等式:走进高考第一关 基础关 教 材 回 归1. 算术平均值如果a,b∈R+,那么________叫做这两个正数的算术平均值.2. 几何平均值如果a,b∈R+,那么________叫做这两个正数的几何平均值. 3. 重要不等式如果a,b∈R+,则a2+b2≥________(当且仅当a=b时,取“=”);均值定理:如果a,b∈R+,那么 ≥_______(当且仅当a=b时,取“=”).均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值 4. 变式形式上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b. 即两个正数的
2017-08-11 约字 99页 立即下载
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均值不等式的引入.ppt
人教版全日制普通高级中学教科书 均值不等式 李青 * 一位同学在做实验称量物体质量时拿到一架制作不精确的天平,该天平的两臂长略有不同(其他因素不计),此时他想通过一些辅助方式称量物体的质量。 问题情境: L1 L2 L1≠L2 回忆 那么我们怎样利用公式表示 之前的称量? 杠杆原理 动力×动力臂=阻力×阻力臂 要使杠杆平衡,作用在杠杆 上的两力的大小跟它们的 力臂成反比。 * 称量结果 猜想 验 证 ? 课堂小结 概念 定理 如果a、b是正数,那么 (当且仅当a=b是取等号) * 算术平均数 几何平均数. * 定理也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数。 如
2017-06-16 约小于1千字 11页 立即下载
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均值不等式的简介.doc
1、调和平均数:Hn n/ 1/a1+1/a2+...+1/an 2、几何平均数:Gn a1a2...an ^ 1/n 3、算术平均数:An a1+a2+...+an /n 4、平方平均数:Qn √ a1^2+a2^2+...+an^2 /n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。
目录
均值不等式的简介
均值不等式的变形
均值不等式的证明
均值不等式的应用
其他不等式
重要不等式
1.柯西不等式
2.排序不等式
3.切比雪夫不等式
4.琴生不等式
5.幂平均不等式
均值不等式的简介
均值不等式的变形
均值不等式的证明
均值不等式的应
2017-03-14 约4.37千字 6页 立即下载
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对数均值不等式.pptx
对数均值不等式及其应用;对数均值不等式的定义及性质01;对数均值不等式的定义定义:设有;对数均值不等式的性质**单调;AM-GM不等式:对于任意非负;对数均值不等式在概率论中的应用;对数均值不等式在概率密度函数中;在随机变量的期望中,对数均值不;在中心极限定理中,对数均值不等;对数均值不等式在数学分析中的应;在函数最值问题中,对数均值不等;对数均值不等式在泰勒级数展开中;对数均值不等式在证明不等式中的;对数均值不等式在工程数学中的应;在线性规划中,对数均值不等式可;在偏微分方程中,对数均值不等式;在稳定性分析中,对数均值不等式;对数均值不等式在实际问题的应用;对数均值不等式在经济模型中的应;对
2024-10-04 约小于1千字 22页 立即下载