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柯西不等式教学题库大全 一、二维形式的柯西不等式 二、二维形式的柯西不等式的变式 三、二维形式的柯西不等式的向量形式 借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 基本方法 （1）巧拆常数： 例1：设、、为正数且各不相等。求证： （2）重新安排某些项的次序： 例2：、为非负数，+=1，求证： （3）改变结构： 例3、若 求证： （4）添项： 例4：求证： 【1】、设，则之最小值为________；此时________。 答案：(18; 解析： ∴ ∴ 　　之最小值为(18，此时 【2】 设( (1，0，( 2)，( (x，y，z)，若x2 ( y2 ( z2 ( 16，则的最大值为　　　　　。 【解】∵　( (1，0，( 2)，( (x，y，z)　∴　．( x ( 2z由柯西不等式[12 ( 0 ( (( 2)2](x2 ( y2 ( z2) ( (x ( 0 ( 2z)2(　5 ( 16 ( (x ( 2z)2　(　( 4( x ( 4(　( 4( ． ( 4，故．的最大值为4 【3】空间二向量，，已知，则(1)的最大值为多少？(2)此时？ Ans：(1) 28：(2) (2,4,6) 【4】设a、b、c为正数，求的最小值。Ans：121 【5】. 设x，y，z ( R，且满足x2 ( y2 ( z2 ( 5，则x ( 2y ( 3z之最大值为　　　　　 解(x ( 2y ( 3z)2 ( (x2 ( y2 ( z2)(12 ( 22 ( 32) ( 5．14 ( 70∴　x ( 2y ( 3z最大值为 【6】 设x，y，z ( R，若x2 ( y2 ( z2 ( 4，则x ( 2y ( 2z之最小值为　　　　　时，(x，y，z) ( 　　　　　 解(x ( 2y ( 2z)2 ( (x2 ( y2 ( z2)[12 ( ( ( 2) 2 ( 22] ( 4．9 ( 36∴　x ( 2y ( 2z最小值为 ( 6，公式法求 (x，y，z) 此时 ∴　，， 【7】设，，试求的最大值M与最小值m。 Ans： 【8】、设，试求的最大值与最小值。 答：根据柯西不等式 即 而有 故的最大值为15，最小值为–15。 【9】、设，试求之最小值。 答案：考虑以下两组向量 = ( 2, –1, –2) =( x, y, z ) 根据柯西不等式，就有 即 将代入其中，得 而有 故之最小值为4。 【10】设，，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。 Ans： 【11】 设x，y，z ( R，2x ( 2y ( z ( 8 ( 0，则(x ( 1)2 ( (y ( 2)2 ( (z ( 3)2之最小值为　　　　　 解： 2x ( 2y ( z ( 8 ( 0　(　2(x ( 1) ( 2(y ( 2) ( (z ( 3) ( ( 9， 考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) [2(x ( 1) ( 2(y ( 2) ( (z ( 3)]2 ( [(x ( 1)2 ( (y ( 2) 2 ( (z ( 3) 2]．(22 ( 22 ( 12)(　(x ( 1)2 ( (y ( 2) 2 ( (z ( 3) 2 (( 9 【12】设x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________。 解： 　(　2x ( 3(y ( 1) ( z (( )， 考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 解析：　∴最小值 　　　 　　　∴　　　∴ 【13】 设a，b，c均为正数且a ( b ( c ( 9，则之最小值为　　　　　 解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) ()(a ( b ( c)(　()．9 ( (2 ( 3 ( 4)2 ( 81 (　( ( 9 【14】、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。 解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 　　　∴，最小值为18 等号发生于 故