柯西不等式的不同形式.doc
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柯西不等式的形式
二维形式：
等号成立条件：
当且仅当
（即?）时，取=”。
扩展：
等号成立条件：当且仅当
时取等号。
向量形式
证明：
推广：
三角形式
等号成立条件：
?（即
?）。
扩展形式
等号成立条件：
?，或
?中有一为零。
上述不等式等同于概述图中的不等式。
推广形式
此推广形式又称 HYPERLINK /view/2918904.htm \t _blank 卡尔松不等式，其表述是：在m×n HYPERLINK /view/10337.htm \t _blank 矩阵中，各行元素之积的 HYPERLINK /view/2943700.htm \t _blank 几何平均之和不小于各列元素之和的几何平均之积。
概率论形式
积分形式
一般形式
设V是一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记做
?，它具有以下性质：
1、
2、
3、
4、
?当且仅当
并定义 α 的长度
?，则柯西不等式表述为：
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