经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式.doc

Mathwang PAGE PAGE 2 几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设是实数 其中.当且仅当时，等号成立. （2）柯西不等式 设是实数，则 当且仅当或存在实数，使得时，等号成立. （3）排序不等式 设，为两个数组，是的任一排列，则 当且仅当或时，等号成立. （4）切比晓夫不等式 对于两个数组：，，有 当且仅当或时，等号成立. 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 而 根据“顺序和乱序和”（在个部分同时使用），可得 即得 同理，根据“乱序和反序和”，可得 综合即证 （2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”： 证明：构造两个数列： 其中.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和： 总是两数组的反序和.于是由“乱序和反序和”，总有 于是 即 即证 （3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”： 证明：不妨设， . 由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证. （4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式” 证明： . 不妨设，则，由切比晓夫不等式，上式成立.即证. （5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式 证明：不妨设， 由切比晓夫不等式，有 . 由均值不等式，有 . 所以 两边平方，即得.即证. （6）补充“调和—几何平均不等式”的证明 证明：将中的换成，有. 两边取倒数，即得.