柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析.doc

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值　　1．求函数的最大值．　　思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。　　解析：　　法一：∵且， 　　　　　∴函数的定义域为，且，　　　　　　　　　　当且仅当时，等号成立， 　　　　　即时函数取最大值，最大值为　　法二：∵且， 　　　　　∴函数的定义域为　　　　　由，　　　　　得　　　　　即，解得　　　　　∴时函数取最大值，最大值为.　　总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．　　举一反三：　　【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。　　（I）证明：-3≤f（x）≤3；　　（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。　　【答案】　　(Ⅰ)　　　　当时，．　　　　所以．…………5分　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，　　　　当时，的解集为空集；　　　　当时，的解集为；　　　　当时，的解集为．　　综上，不等式的解集为．……10分　　【变式2】已知，，求的最值.　　【答案】　　法一：　　由柯西不等式　　　　于是的最大值为，最小值为.　　法二：　　由柯西不等式　　　　于是的最大值为，最小值为.　　【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．　　【答案】　　根据柯西不等式 　　，　　故。　　当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，　　此时，　　评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．类型二：利用柯西不等式证明不等式　　利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。（1）巧拆常数：　　2．设、、为正数且各不相等，求证： 　　思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：　　而，又，故可利用柯西不等式证明之。　　证明：　　　　　　　　又、、各不相等，故等号不能成立　　∴。（2）重新安排某些项的次序：　　3．、为非负数，+=1，，求证：　　思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。　　证明：∵+=1　　　　　∴　　　　　　　　　　即（3）改变结构：　　4、若，求证：　　思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。　　，，∴，∴所证结论改为证。　　证明：　　　　∴ （4）添项：　　5．，求证：　　思路点拨：左端变形，∴只需证此式即可。　　证明：　　　　　　　　　　　　举一反三：　　【变式1】设a,b,c为正数，求证：．　　【答案】　　由柯西不等式：　　，即。　　同理，．　　将上面三个同向不等式相加得　　，　　于是．　　【变式2】设a,b,c为正数，求证：。　　【答案】　　由柯西不等式　　　　于是　　即 　　【变式3】已知正数满足 证明。　　【答案】　　利用柯西不等式　　　　　　 　　又因为 　　在此不等式两边同乘以2，再加上得：　　　　故。类型三：柯西不等式在几何上的应用　　6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：　　 　　证明：由三角形中的正弦定理得，所以，　　　　　同理，　　　　　于是左边=　　　　　故。　　【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。　　【答案】　　　　且　　4x+5y+6z=　　由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)　　≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。类型四：排序不等式的简单应用　　7．对，比较与的大小。　　思路点拨：题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序，且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明．　　解析：∵，不妨设，则　　　　　由排序原理，乱序和≤顺序和，得：　　举一反三：　　【变式1】比较1010×1111×1212×1313 与1013×1112×1211×1310的大小。　　【答案】　　因10 ≤ 11 ≤ 12 ≤ 13及 lg10 ≤ lg11 ≤ lg12 ≤ lg13，　　由排序