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第三十四讲均值不等式:走进高考第一关 基础关 教 材 回 归1. 算术平均值如果a,b∈R+,那么________叫做这两个正数的算术平均值.2. 几何平均值如果a,b∈R+,那么________叫做这两个正数的几何平均值. 3. 重要不等式如果a,b∈R+,则a2+b2≥________(当且仅当a=b时,取“=”);均值定理:如果a,b∈R+,那么 ≥_______(当且仅当a=b时,取“=”).均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值 4. 变式形式上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b. 即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.应用此结论要注意三个条件;“一正二定三相等”,即:(1)_______;(2)________;(3)_______. 考 点 陪 练1. 设0a1,0b1,且a≠b,下列各式中值最大的是( )A. a2+b2B. a+bC. 2abD.  2. 设x\,y∈(0,+∞),且xy-(x+y)=1,则( )A. x+y≥2( +1)B. xy≤ +1C. x+y≤( +1)2D. xy≥2( +1) 3. 设a0,b0,下列不等式中不成立的是( ) 4. 在下列函数中,当x取正数时,最小值为2的是( ) 5. (2010·广东梅州?揭阳)(能力题,中)设x\,y均为正实数,且则xy的最小值为________. 解读高考第二关 热点关 类型一:证明不等式 典例1证明:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).利用a2+b2≥2ab(a,b∈R)求证即可.∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c2)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c2+abc2+a2bc), 即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).即原命题可得证. 如a2+b2≥2ab(a,b∈R),可变形为等.同时要从整体上把握基本不等式,如:a4+b4≥2a2b2,a2b2+b2c2≥2(ab)(bc),都是对“a2+b2≥2ab,a,b∈R”的灵活运用.本题先局部运用重要不等式,然后用不等式的性质,通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式,这种证明方法在证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍性. 类型二:求最值解题准备:1. 利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最值.(1)如果x0,y0,xy=p(定值),当x=y时,x+y有最小值2 (简记为:积定,和有最小值);(2)如果x0,y0,x+y=S(定值),当x=y时,xy有最大值  S2(简记为:和定,积有最大值). 2. 应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:(1)如果a,b∈(0,+∞),则;(2)若x∈(0,+∞),则x+ ≥2;若x≠0,则x+ ≥2或x+ ≤-2(当且仅当x=y时取等号);(3)ab≤( )2(当且仅当a=b时取等号);(4)a2+b2+c2≥ab+ac+bc(当且仅当a=b=c时取等号). 典例2(1)设0x2, 求函数的最大值;(2)求 的取值范围;(3)已知x0,y0,且x+y=1,求 的最小值. 分析：(1)由0x2可知3x0,8-3x0.由于3x+(8-3x)=8,可由均值不等式得3x(8-3x)≤  (2)显然a≠4,当a4时,a-40,当且仅当 =a-4,即a=4+3时取等号; (3)∵x0,y0,且x+y=1, (1)在利用均值不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上均值不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出均值不等式的形式再进行求解.本题第 (2)小题中 +a虽不是定值,但变形为 +(a-4)+4即可发现 ×(a-4)=3为定值,故可用均值不等式求之.分式函数求最值,通常化成