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均值不等式的简介.doc

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1、调和平均数:Hn n/ 1/a1+1/a2+...+1/an 2、几何平均数:Gn a1a2...an ^ 1/n 3、算术平均数:An a1+a2+...+an /n 4、平方平均数:Qn √ a1^2+a2^2+...+an^2 /n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。 目录 均值不等式的简介 均值不等式的变形 均值不等式的证明 均值不等式的应用 其他不等式 重要不等式 1.柯西不等式 2.排序不等式 3.切比雪夫不等式 4.琴生不等式 5.幂平均不等式 均值不等式的简介 均值不等式的变形 均值不等式的证明 均值不等式的应用 其他不等式 重要不等式 1.柯西不等式 2.排序不等式 3.切比雪夫不等式 4.琴生不等式 5.幂平均不等式 展开 编辑本段均值不等式的简介 均值不等式   概念: 1、调和平均数:Hn n/ 1/a1+1/a2+...+1/an 2、几何平均数:Gn a1a2...an ^ 1/n 3、算术平均数:An a1+a2+...+an /n 4、平方平均数:Qn √ [ a1^2+a2^2+...+an^2 /n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… 、an∈R +,当且仅当a1 a2 … an时取“ ”号 均值不等式的一般形式:设函数D r [(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^ 1/r 当r不等于0时 ; a1a2...an ^ 1/n 当r 0时)(即D 0 a1a2...an ^ 1/n ) 则有:当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即D -1 ≤D 0 ≤D 1 ≤D 2 由以上简化,有一个简单结论,中学常用2/ 1/a+1/b ≤√ab≤ a+b /2≤√[ a^2+b^2 /2] 编辑本段均值不等式的变形 1 对实数a,b,有a^2+b^2≥2ab 当且仅当a b时取“ ”号 ,asup2;+bsup2; 0 -2ab 2 对非负实数a,b,有a+b≥2√ a×b ≥0,即 a+b /2≥√ a×b ≥0 3 对负实数a,b,有a+b -2√ a*b 0 4 对实数a,b,有a a-b ≥b a-b 5 对非负实数a,b,有asup2;+bsup2;≥2ab≥0 6 对实数a,b,有asup2;+bsup2;;≥1/2* a+bsup2; ≥2ab 7 对实数a,b,c,有asup2;+bsup2;+csup2;≥1/3* a+b+csup2;; 8 对实数a,b,c,有asup2;+bsup2;+csup2;≥ab+bc+ac 9 对非负数a,b,有asup2;+ab+bsup2;≥3/4* a+b sup2;; 10 对实数a,b,c,有 a+b+c /3≥ abc ^ 1/3 编辑本段均值不等式的证明 均值不等式   方法很多,数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。 引理:设A≥0,B≥0,则 A+B ^n≥A^n+nA^ n-1 B。 注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明 用数学归纳法 。 原题等价于: a1+a2+…+an /n ^n≥a1a2…an。 当n 2时易证; 假设当n k时命题成立,即 a1+a2+…+ak /k ^k≥a1a2…ak。那么当n k+1时,不妨设a k+1 是a1,a2 ,…,a k+1 中最大者,则 k a k+1 ≥a1+a2+…+ak。 设s a1+a2+…+ak, [a1+a2+…+a k+1 ]/ k+1 ^ k+1 s/k+[k a k+1 -s]/[k k+1 ] ^ k+1 ≥ s/k ^ k+1 + k+1 s/k ^k[k a k+1 -s]/k k+1 用引理 s/k ^k* a k+1 ≥a1a2…a k+1 。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式:上凸函数f x ,x1,x2,...xn是函数f x 在区间 a,b 内的任意n个点, 则有:f[ x1+x2+...+xn /n]≥1/n*[f x1 +f x2 +...+f xn ] 设f x lnx,f x 为上凸增函数 所以,ln[ x1+x2+...+xn /n]≥1/n*[ln x1 +ln x2 +...+ln xn ] ln[ x1*x2*...*xn ^ 1/n ] 即 x1+x2+...+xn /n≥ x1*x2*...*xn ^ 1/n 在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦) 编辑本段均值不等式的应用   例一
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