概率統计第6章习题参考解答.doc

参数估计 1，设总体未知，是来自 的样本。求的矩估计量。今测得一个样本值0.5，0.86，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估计值。 解：因为总体，所以总体矩。根据容量为9的样本得到的样本矩。令总体矩等于相应的样本矩：，得到的矩估计量为。 把样本值代入得到的矩估计值为。 2，设总体具有概率密度，参数未知，是来自的样本，求的矩估计量。 解：总体的数学期望为，令可得的矩估计量为。 3，设总体参数未知，是来自的样本，求的矩估计量（对于具体样本值，若求得的不是整数，则取与最接近的整数作为的估计值）。 解：总体的数学期望为 ，， 二阶原点矩为。 令总体矩等于相应的样本矩： ， 得到，。 4，（1）设总体未知，是来自的样本，是相应的样本值。求的矩估计量，求的最大似然估计值。 （2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数，下面是的一个样本： 6 4 9 6 10 11 6 3 7 10 求的最大似然估计值。 解：（1）因为总体的数学期望为，所以矩估计量为。 似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为 。 （2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为。 5，（1）设服从参数为的几何分布，其分布律为。参数未知。设是一个样本值，求的最大似然估计值。 （2）一个运动员，投篮的命中率为，以表示他投篮直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得到的观察值为 5 1 7 4 9 求的最大似然估计值。 解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为 。 （2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为。 6，（1）设总体，参数已知， 未知，是来自一个样本值。求的最大似然估计值。 （2）设总体，参数已知，（0）未知，为一相应的样本值。求的最大似然估计值。 解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为 。 （2）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为 。 7，设是总体的一个样本，为一相应的样本值。 总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计量和估计值。 总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计值。 设已知，未知，求的最大似然估计值。 解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为 。 相应的最大似然估计量为。 （2）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为 。 （3）因为其分布律为 所以，似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为 。 8，设总体具有分布律 1 2 3 其中参数未知。已知取得样本值，试求的最大似然估计值。 解：根据题意，可写出似然函数为 ， 相应的对数似然函数为 。 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为 。 9，设总体，，未知，已知，和分别是总体和的样本，设两样本独立。试求最大似然估计量。 解：根据题意，写出对应于总体和的似然函数分别为 ， ， 相应的对数似然函数为 ，3 ， 令对数似然函数分别对和的一阶导数为零，得到 ， 算出最大似然估计量分别为，。 10，（1）验证均匀分布中的未知参数的矩估计量是无偏估计量。 （2）设某种小型计算机一星期中的故障次数，设是来自总体的样本。①验证是的无偏估计量。②设一星期中故障维修费用为，求。 （3）验证是的无偏估计量。 解：（1）均匀分布中的未知参数的矩估计量为 。 由于，所以是的无偏估计量。 （2）①因为，所以是的无偏估计量。 ②。 （3）因为， 所以，是的无偏估计量。 11，已知是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知。设有估计量 ， ， 。 指出中哪几个是的无偏估计量。 在上述的无偏估计量中哪一个较为有效？ 解：（1）因为 ， 。 所以，是的无偏估计量。 （2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出 ， 所以，是比更有效的无偏估计量。 12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求（1）的置信水平为0.95的置信区间，（2）的置信水平为0.90的置信区间。 解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，的置信水平为的置信区间为。 （1）的置