用判别式法求函数值域的方法.doc
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用判别式法求函数值域的方法
例1求函数y=的值域
解:∵2x2+2x+1=2(x+)2+0
∴函数的定义域为R,
将原函数等价变形为(2y-1)x2+(2y+2)x+y+3=0,
我认为在此后应加上:关于x的方程(2y-1)x2+(2y+2)x+y+3=0有实数解
例2求函数y=的值域
解:由x2+x-6≠0得x≠2,x≠-3
∴函数的定义域为{x|x∈R,x≠2,x≠-3}
由原函数变形得:(y-1)x2+(y-4)x-6y-3=0
我认为在此之后应加上:关于x的方程(y-1)x2+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3
例1及例2也需要作此修正,本人认为,这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用,同时也暴露出作者的思维过程,不能略去。
思考之二:对于形如y=中分子分母都有公因式的处理方法
中处理方法是要验证△=0时对应的y值,该文中是这样的说明的:由于函数变形为方程时不是等价转化,故在考虑判别式的同时,还需对△=0进行检验,若对应的自变量在函数的定义域内,则y值在值域内,否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验,得出正确结果,这就使读者很困惑,究竟什么情况要检验,什么情况不进行检验呢?
我认为有关形如y=中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法,这已经不是判别式法的范围之内,不在讨论之列,第二种处理方法仍然用判别式法,只不过在例1的解法基础上稍加改动即可,例3 求函数求函数y=的值域
解:由x2+x-6≠0得x≠2,x≠-3
∴函数的定义域为{x|x∈R,x≠2,x≠-3}
由原函数变形得:(y-1)x2+(y-4)x-6y-3=0
我认为在此之后应加上:关于x的方程(y-1)x2+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3
(1)当y=1时,代入方程求得x= -3,而x≠-3,因此y≠1
(2)当y≠1时关于x的方程(y-1)x2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3为该方程的根,x=2不是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y≠
由上可知:原函数的值域为{y|y≠1, y≠}
上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况,
例4 求函数y=的值域
解:由已知得x≠-1且x≠3,将原函数化为(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0
由题意得关于x的方程(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1
(1)当y=1时,x= -4,∴y可以取1
(2)当y≠1时,关于x的方程(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程,
显然可以验证x=3和x= -1不是该方程的解
因此只需△≥0即可,以下过程略
思考之三:该方法的适用范围不仅适用于分式形式,对于二次函数同样适用,
如:求函数y=x2-3x+5的值域
解:由已知得关于x的方程x2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即(-3)2-4(5-y)≥0
∴y≥
∴所求函数的值域为{y| y≥}
练习: 求函数的值域。
错解 原式变形为 (*)
∵,∴,解得。
故所求函数的值域是
分析 把代入方程(*)显然无解,因此不在函数的值域内。事实上,时,方程(*)的二次项系数为0,显然用“”来判定其根的存在情况是不正确的,因此要注意判别式存在的前提条件,即需对二次方程的二次项系数加以讨论。
正解 原式变形为 (*)
(1)当时,方程(*)无解;
(2)当时,∵,∴,解得。
由(1)、(2)得,此函数的值域为
例5 求函数的值域。
错解 移项平方得:,
由解得,则原函数的值域是.
分析 由于平方得,这种变形不是等价变形,实际上扩大了的取值范围,如果从原函数定义域,那么,显然是错误的。
正解 令,则t0,得,,
又0,,
故原函数的值域为
例6 求函数的值域
错解 令,则,∴,由及得值域为。
分析 解法中忽视了新变元满足条件。
正解 设,,,
。故函数得值域为。
当用分子分母有公因式时,不能转化为二次方程再用判别式法,而应先约去公因式
例7 求函数的值域
错解 = 1 \* GB3 ①
,即 = 2 \* GB3 ②
当,即时,由 = 2 \* GB3 ②得(舍去),;
当即时,得, 。
综上可述,原函数的值域为{ |且}。
分析 事实上,当,即=时,解得,而当时原函数没有意义,故。错误的原因在于,当时, 的值为零,所以是方程 = 2 \* GB3 ②的根,但它不属于原函数的定义域,所以方程 = 2 \* GB3 ②与方程 = 1 \* GB3 ①不同解,故函数不能转化为二次方程,用二次方
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