用判别式法求函数值域的方法.doc

第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 4 页 用判别式法求函数值域的方法 例1求函数y=的值域 解：∵2x2+2x+1=2(x+)2+0 ∴函数的定义域为R， 将原函数等价变形为（2y-1）x2+(2y+2)x+y+3=0, 我认为在此后应加上：关于x的方程（2y-1）x2+(2y+2)x+y+3=0有实数解 例2求函数y=的值域 解：由x2+x-6≠0得x≠2,x≠-3 ∴函数的定义域为{x|x∈R，x≠2,x≠-3} 由原函数变形得：（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0 我认为在此之后应加上：关于x的方程（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3 例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。 思考之二：对于形如y=中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法是要验证△=0时对应的y值，该文中是这样的说明的：由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y值在值域内，否则舍去。 但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？ 我认为有关形如y=中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例3 求函数求函数y=的值域 解：由x2+x-6≠0得x≠2,x≠-3 ∴函数的定义域为{x|x∈R，x≠2,x≠-3} 由原函数变形得：（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0 我认为在此之后应加上：关于x的方程（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3 （1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x≠-3，因此y≠1 （2）当y≠1时关于x的方程（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y≠ 由上可知：原函数的值域为{y|y≠1, y≠} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况， 例4 求函数y=的值域 解：由已知得x≠-1且x≠3,将原函数化为（y-1）x2-(2y-1)x-3y-1=0 由题意得关于x的方程（y-1）x2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1 （1）当y=1时，x= -4，∴y可以取1 （2）当y≠1时，关于x的方程（y-1）x2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程， 显然可以验证x=3和x= -1不是该方程的解 因此只需△≥0即可，以下过程略 思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数同样适用， 如：求函数y=x2-3x+5的值域 解：由已知得关于x的方程x2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即（-3）2-4（5-y）≥0 ∴y≥ ∴所求函数的值域为{y| y≥} 练习： 求函数的值域。 错解 原式变形为 （*） ∵，∴，解得。 故所求函数的值域是 分析 把代入方程（*）显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。 正解 原式变形为 （*） （1）当时，方程（*）无解； （2）当时，∵，∴，解得。 由（1）、（2）得，此函数的值域为 例5 求函数的值域。 错解 移项平方得：， 由解得，则原函数的值域是. 分析 由于平方得，这种变形不是等价变形，实际上扩大了的取值范围，如果从原函数定义域，那么，显然是错误的。 正解 令，则t0，得，， 又0，， 故原函数的值域为 例6 求函数的值域 错解 令，则，∴，由及得值域为。 分析 解法中忽视了新变元满足条件。 正解 设，，， 。故函数得值域为。 当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式 例7 求函数的值域 错解 = 1 \* GB3 ① ，即 = 2 \* GB3 ② 当，即时，由 = 2 \* GB3 ②得（舍去），； 当即时，得, 。 综上可述，原函数的值域为{ |且}。 分析 事实上，当，即=时，解得，而当时原函数没有意义，故。错误的原因在于，当时， 的值为零，所以是方程 = 2 \* GB3 ②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程 = 2 \* GB3 ②与方程 = 1 \* GB3 ①不同解，故函数不能转化为二次方程，用二次方