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用判别式求函数值域应注意的几个问题 2 利用判别式解题是数学解中一种重要且常用的方法，对于可化为形如a(y)x＋b(y)x＋ c(y) ＝0(*)的函数式y＝f(x)，用判别式法求其值域，即求方程(*)中x在定义域有解的y值的 集合，但在解题时，常因忽视函数式变形前后的 x、y的取值范围的变化而导致错误结果， 本文例谈用判别式法求函数值域应注意的几个问题. 1 注意对x 项系数的讨论2 2 x－x－1 例1 求函数y＝ 的值域. 2 x－x＋3 错解 将函数式化为 2 (y－1)x－(y－1)x＋3y＋1＝0 (1) 5 2 由△＝－11y＋6y＋5≥0，得函数值域为y∈[－ ,1] 11 剖析 因为只有当y－1＝0时，才能用判别式法求其值域，故应分y＝1和y－1＝不属 于值域；故应分y＝1和y≠1两种情况讨论. (i)当y＝1，因方程(1)无解，故y＝1不属于值域； 5 (ii)当y≠1时，由上可知y ∈[－ ,1]. 11 5 综合(i)(ii)知，函数值域为y ∈[－ ,1]。 11 2 注意函数式变形中自变量的取值范围 2 x－3x－4 例2 求函数y＝ 的值域. 2 x－4x＋3 错解1 将函数式化为 2 (y－1)x＋(4y＋3)x＋3y＋4＝0 (1) (i)当y－1＝0即y＝1时，x＝－1,故y＝1属于值域； (ii)当y－1≠0即y≠1时，因△＝(2y－5)2≥0,综合(i)(ii)知函数值域为y∈R. (x－4) (x＋1) (x－4) 错解2 将函数式化为y＝ ,即y＝ ，易知函数值域为y∈R. (x＋3) (x＋1) (x＋3) 剖析 致错原因是忽视了函数式变形中自变量的取值范围，解法一中，函数式化为方程(1)时 产生了增根(x＝－1不在定义域内，但都是方程中(1)的根)；解法二中，扩大了自变量的取值 5 范围，包含了x＝－1，y＝－ 这种情形. 2 5 正确答案 函数的值域为y∈R，且y≠1，y≠－ 2 2 x＋4x＋3 例3 求函数y＝ 的值域. x＋3 解 函数式化为 2 －x＋x＋2 2 y＝ ,y≥0, (1) x＋3 化简即 2 2 2 x＋(y－1)x＋3y－2≥0, 及y≥0得函数值域为y∈[0, 5－2] ∪[ 5－2, ＋∞) 剖析 函数式化为方程(1