求函数的值域课件 1.ppt

1.2.6 函数值域的求法 * 函数 y = f ( x ) 因变量 自变量 对应法则 自变量x的取值集合为 ___________________ 因变量y的取值集合为 ___________________ 函数的定义域 函数的值域 1:在初中我们学习了哪几种函数?函数表达式是什么?它们的定义域各是什么? 一次函数 : 反比例函数: 二次函数 : y=ax+b(a≠0) 定义域为R 定义域为{x|x ≠0} f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 定义域为R 值域 呢? 值域为{y|y ≠0} 当a0时，值域为: { } 当a0时，值域为: { } 值域为R 常用的求函数的值域的方法有以下几种： 1.直接法 2.配方法 3.换元法 4.判别式法 5.分离系数法 6图像法 1.直接法：有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域。 例1：求函数 的值域 1、求下列函数的值域： （1）y = 1 －2x （2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 } （3）y = （4）y = 值域为 ________________ 值域为 _________ 值域为 ________________________ 值域为 ____________ R {－1, 0, 1 } (－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) [0, + ∞ ) 二、配方法： 形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围. 例 2(1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1] 分析：本题是求二次函数在闭区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。 三：换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围). 例3 求函数 的值域: 注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。 y=x- x-1 四、判别式法 例4 求函数 y = 的值域.　 x2+x+1 x2-x 主要适用于形如 y = (a, d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零). ax2+bx+c dx2+ex+f 能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域. [1- , 1+ ] 2 3 3 2 3 3 例5、求下列函数的值域: (1) y = 解：由 故函数的值域为 五分离常数法 { y| y?R且y?- } 六：图像法 对于分段函数求值域常用此法。 如例6 例6、求下列函数的值域: （1）y = | x + 1 | －| 1 －x | 解：由 y = | x + 1 | －| x －1 | 当 x ≤－ 1 时，y = －( x + 1 ) + ( x －1 ) = －2 当 －1 ＜ x ≤ 1 时，y = ( x + 1 ) + ( x －1 ) = 2x 当 x ＞ 1 时，y = ( x + 1 ) － ( x －1 ) = 2 x y －1 1 2 －2 o 由图知： －2 ≤ y ≤ 2 故函数的值域为 [－2 ， 3 ] 1.求下列函数的值域: 值域课堂练习题 (1) y= ; x-2 3x+1 (2) y=2x+4 1-x ; (3) y=x+ 1-x2 ; (1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4] (4)[3, +∞) (4) y=|x+1|+ (x-2)2 ; (3)[-1, 2 ] 练习2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① y=x2-4x+1 ② y=x2-4x+1 x?[3,4] ③ y=x2-4x+1 , x?[0,1] ④ y=x2-4x+1 x?[0,5] 解： ∵ y=x2-4x+1 = (x-2)2-3