求函数值域方法梳理.doc

求函数值域十二法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。 基本知识 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 函数值域常见的求解思路： = 1 \* GB2 ⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 = 2 \* GB2 ⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。 = 3 \* GB2 ⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数看作是关于自变量的方程，在值域中任取一个值，对应的自变量一定为方程在定义域中的一个解，即方程在定义域内有解；另一方面，若取某值，方程在定义域内有解，则一定为对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围。 特别地，若函数可看成关于的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 = 4 \* GB2 ⑷．可以用函数的单调性求值域。 = 5 \* GB2 ⑸．其他。 函数值域的求法 在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧： = 1 \* GB2 ⑴．观察法； = 2 \* GB2 ⑵．最值法； = 3 \* GB2 ⑶．判别式法； = 4 \* GB2 ⑷．反函数法； = 5 \* GB2 ⑸．换元法； = 6 \* GB2 ⑹．复合函数法； = 7 \* GB2 ⑺．利用基本不等式法； = 8 \* GB2 ⑻．利用函数的单调性； = 9 \* GB2 ⑼．利用三角函数的有界性； = 10 \* GB2 ⑽．图象法； = 11 \* GB2 ⑾．配方法； = 12 \* GB2 ⑿．构造法。 举例说明 = 1 \* GB2 ⑴．观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1：求函数的值域。 例2：求函数的值域。 = 2 \* GB2 ⑵．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例3：求函数，的值域。 例4：求函数的值域。 = 3 \* GB2 ⑶．判别式法：通过二次方程的判别式求值域的方法。 例5：求函数的值域。 = 4 \* GB2 ⑷．反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。 例6：求函数的值域。 例7：求函数，的值域。 = 5 \* GB2 ⑸．换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法。 例8：求函数的值域。 = 6 \* GB2 ⑹．复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。 例9：求函数的值域。 = 7 \* GB2 ⑺．利用基本不等式求值域： 例10：求函数的值域。 例11：求函数的值域。 = 8 \* GB2 ⑻．利用函数的单调性： 例12：求函数的值域。 提示：，，∴都是增函数，故是减函数，因此当时，，又∵，∴。 例13：求函数的值域。 略解：易知定义域为，而在上均为增函数，∴，故 = 9 \* GB2 ⑼．利用三角函数的有解性： 例14：求函数的值域。 例15：求函数的值域。 = 10 \* GB2 ⑽．图象法：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此方法）。 例16：求函数的值域。