数值分析第六章 插值法.ppt

Hermite插值多项式可写成插值基函数表示的形式 验证： 根据插值条件可求出 和 H2n+1(x)为满足条件 的2n+1次Hermite插值多项式。 于是 同理 定理 满足插值条件 的Hermite插值多项式是惟一的。 证: 设 和 都满足上述插值条件,令 则每个节点 均为 的二重根,即 有2n+2个根，但 是不高于2n+1次的多项式 ，所以 ，即 惟一性得证。 定理 若f(x)在?a,b?上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为 其中 定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证明方法请同学们自行证明 实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式,即 n=1的情况 余项 例6.16 已知函数 y= f(x) 的数据如下表所示, 求次数 不超过三次的Hermite的插值多项式H3(x)使 H3(xi) = yi (i=0,1,2) H′3(xi) = y′i 解 所求三次Hermite的插值多项式为 解 所求三次Hermite的插值多项式为 由插值条件得到以下方程组 解上述方程组 故得 §6.6 分段线性插值 6.6.1 高次插值的龙格现象 插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说 来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的， 因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函 数f(x)的高阶导数有关。换句话说，适当地提高插 值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度 ，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点 增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善， 有时反而误差更大。考察函数 考察函数 右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的 另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。 6.6.2 分段线性插值 分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起 来逼近f(x)。 设f(x)在n+1个节点 上的函数值为 ,在每个小区间 (k=0,1,…，n）上作线性插值，得 在几何上就是用折线 替代曲线,如右图所示 若用插值基函数表示, 则在?a,b?上 其中 显然， 是分段线性连续函数，且 称S(x)为f(x)的分段线性插值函数。 由线性插值的余项估计式知,f(x)在每个子段 上有误差估计式 其中 例6.17 已知f(x)在四个节点上的函数值如下表所示 30 45 60 90 1 求f(x)在区间?30,90?上的分段连续线性插值函数S(x) 解 将插值区间?30,90?分成连续的三个小区间 ?30,45?,?45,60?,?60,90? 则S(x)在区间?30,45?上的线性插值为 S(x)在区间?45,60?上的线性插值为 S(x)在区间?60,90?上的线性插值为 将各小区间的线性插值函数连接在一起，得 本章小结 本章介绍的插值法是实用性很强的方法。它们解决的实际问题虽然各式各样，但抽象为数学问题却有它的共性，即利用已知的数据去寻求某个较为简单的函数P(x)来逼近f(x)。插值法给出了寻求这种近似函数的原则，以及构造近似函数的几种具体方法。插值法要求近似函数在已知的数据点必须与f(x)完全一致，。 插值法中的拉格朗日插值多项式是研究数值微积分与微分方程数值解的重要工具。牛顿插值多项式是拉格朗日插值多项式的变形，具有承袭性，比拉格朗日插值多项式节省计算量。分段低次多项式插值由于具有良好的稳定性与收敛性，且算法简单，便于应用。特别是应用广泛的三次样条插值，不但有较好的稳定性和收敛性，而且具有较好的光滑性，从而满足了许多实际问题