数值分析课件第六章数值插值方法.ppt

由前述余项定理可知，n次Lagrange插值多项式的余项为：2.分段线性插值的误差估计则分段线性插值L1(x)的余项为第61页，共97页，星期日，2025年，2月5日二、分段二次Lagrange插值1.分段二次插值的构造设插值节点为xi，函数值为yi，i=0,1,2,……,nhi=xi+1-xi，i=0,1,2,……,n-1，任取三个相邻的节点xk-1，xk，xk+1，以[xk-1，xk+1]为插值区间构造二次Langrange插值多项式：第62页，共97页，星期日，2025年，2月5日2.分段二次插值的误差估计由于那么分段二次插值L2(x)的余项为：第63页，共97页，星期日，2025年，2月5日例:解:(1)分段线性Lagrange插值的公式为第64页，共97页，星期日，2025年，2月5日同理第65页，共97页，星期日，2025年，2月5日(2)分段二次Lagrange插值的公式为第66页，共97页，星期日，2025年，2月5日第67页，共97页，星期日，2025年，2月5日样条：是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具。样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处，不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的。1946年，Schoenberg将样条引入数学，即所谓的样条函数。因分段线性插值导数不连续，为克服在节点处不光滑的缺陷，故引入样条插值概念。三、三次样条插值第68页，共97页，星期日，2025年，2月5日第29页，共97页，星期日，2025年，2月5日第30页，共97页，星期日，2025年，2月5日第31页，共97页，星期日，2025年，2月5日松弛迭代法条件数cond（A）拉格朗日插值差分与差商牛顿插值上次课程内容回顾第32页，共97页，星期日，2025年，2月5日第33页，共97页，星期日，2025年，2月5日第34页，共97页，星期日，2025年，2月5日第35页，共97页，星期日，2025年，2月5日例：已知函数f(x)的函数值列表如下：x-2-1013y-56-16-2-24列出一至三阶的均差表。解：xf(x)一阶均差二阶均差三阶均差-2-56-1-16400-214-131-20-7234312第36页，共97页，星期日，2025年，2月5日第37页，共97页，星期日，2025年，2月5日第38页，共97页，星期日，2025年，2月5日第39页，共97页，星期日，2025年，2月5日第40页，共97页，星期日，2025年，2月5日第41页，共97页，星期日，2025年，2月5日第42页，共97页，星期日，2025年，2月5日第43页，共97页，星期日，2025年，2月5日第44页，共97页，星期日，2025年，2月5日xkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.524930.228630.03126-0.00012例：已知f(x)的函数表，求4次牛顿插值多项式，并由此计算f(0.596)的近似值。第45页，共97页，星期日，2025年，2月5日这说明截断误差很小。可得截断误差为：第46页，共97页，星期日，2025年，2月5日此例中，五阶均差f[x,x0,x1,……,x4]是用f[x0,x1,……,x5]来近似的。另一种方法是取x=0.596，由f(0.596)≈0.61392求得f[x,x0,x1,……,x4]的近似值，进而计算|R4(x)|。截断误差的估计：第47页，共97页，星期日，2025年，2月5日第48页，共97页，星期日，2025年，2月5日第49页，共97页，星期日，2025年，2月5日第50页，共97页，星期日，2025年，2月5日第51页，共97页，星期日，2025年，2月5日第52页，共97页，星期日，2025年，2月5日6.4分段低次插值高次插值的病态性质：对于一个确定的区间，如果插值节点之间的距离较小，自然插