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23分块矩阵及其运算.ppt

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第 二 章 矩阵及其运算 第三节 分块矩阵(Block matrix)及其运算 分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 思考题 答案 作业 : 习题2-3 2(2) P66 9 * 第二章 矩阵概念及其运算 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 例如矩阵: 记为 其中 注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有: 1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; 2)将矩阵A每一元素视为一个子块的分块矩阵; 3)将矩阵A每一行视为子块的分块矩阵,记为: 4)将矩阵A每一列视为子块的分块矩阵,记为: A 行的记法可看作是列的转置 例如: 设矩阵A与B是同型矩阵,且分块方法也相同: 注:矩阵A与B有相同的分块法 1.分块矩阵的加法与数乘 分块矩阵加法: 数乘分块矩阵: 设矩阵A是m×p型矩阵,B是p×n型矩阵,它们分别分块如下: 对A的列的分法与对B的行的分法 完全一致!!! 2.分块矩阵的乘法 矩阵A与B的乘积AB: 设矩阵A分块如下: 分块矩阵转置分两次进行:按一般元素矩阵转置后,每个子块矩阵再转置. 3.分块矩阵的转置 分块矩阵A的转置: 例1 问矩阵B如何分块,才能与A右乘? 并用其中的一种分块矩阵求AB? 设矩阵 若矩阵A分块为: 矩阵B的行分法只要与A的列分法相同即可: 解: 满足条件的B的分法 共有八种. 取B分块如下 说明1) : 关于准对角矩阵的结论: 称矩阵 为准对角矩阵 当Ai(i=1,2, …,s)都是方阵时, ① ② ③ 当A1,A2,…,AS都是方阵,且 时,A可逆 类似地有: 说明2):做个笔记 特别的: 例2 设 求 解 求矩阵A的逆矩阵,其中 由对角矩阵的结论可得: 设矩阵: 则方程组 分块矩阵的简单应用: 说明3) : 简化线性方程组的记号 可表为: 可表为: 或A按行分块 或A按列分块: 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法. (1) 加法 (2) 数乘 (3) 乘法 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似: 同型矩阵,采同相同的分块法; 数 乘矩阵 ,需 乘 的每一个子块; 若 与 相乘,需 的列的划分与 的行的划分相一致. 五、小结 (4) 转置 (5) 分块对角阵的行列式与逆阵 (6) 两种特殊的分块法:按行分块与按列分块.
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