(分块矩阵的初等变换及其应用2.doc

扬 州 市 职 业 大 学 毕 业 设 计（论 文） 分块矩阵的初等变换及其应用 系 别： 数学系 1 专 业： 数学教育 班 级： 08数学教育班 姓 名： 孙晶晶 学 号： 0814010123 指导教师： 刘桂香 完成时间： 2011年5月 分块矩阵的初等变换及其应用 08数学教育 孙晶晶 摘要：求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩是高等代数中常见的问题。而对于高阶矩阵而言，这些问题的求解往往过于繁琐，甚至无法求解。但如果利用矩阵分块的方法，把矩阵的初等变换的思想和方法运用于分块矩阵，则可起到事半功倍的效果。本文总结了分块矩阵的初等变换的性质以及分块初等变换在求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩等方面的应用。 关键词：分块矩阵 初等变换 应用 1 分块矩阵及初等变换 1.1分块矩阵的定义 把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵，然后把每个小矩阵看成一个元素，这样得到的矩阵称为分块矩阵。特殊的，如果分块矩阵的非零子矩阵都在对角线上，就称为分块对角矩阵（准对角矩阵）。 如： C== 是一分块矩阵，其中，E1 、E2 、A 、B均表示的是一个矩阵。 1.2 分块矩阵的运算 与普通矩阵的运算完全相同，只须将进行运算的矩阵适当分块，则有类似于数字矩阵的运算。 ?加法：已知A=（aij）s×n,B=(bij)s×n,且A与B的分法相同，即A=（Aij）t×r,B=(Bij)t×r,其中Aij与Bij级数相同,则A+B=（Aij+Bij)t×r. ?乘法：已知A=（aij）s×n ,B=(bij)s×n ,且A的列的分法与B的行的分法相一致,A=（Aij）t×k,B=(Bij)k×r,则A·B=C=(Cij)t×r.其中 Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+…+AimBmj （i、j=1、2、3…n） ?数乘：已知A=(Aij）r×s,则kA=（kAij）?换法变换：交换分块矩阵的j，k两行（列），记作[j,k] ({i,j}).如 . ?倍法变换：用一个可逆矩阵P左（右）乘分块矩阵的第i行（列）,记作[i(P)] ({i(P)}).如 . ?消法变换：用一个矩阵P左（右）乘分块矩阵的第i行（列）后加到第k行（列），记作[i(P)+k] ({i(P)+k}).如 . 1.4分块初等矩阵 将单位矩阵如下进行分块 , 对分块后的单位矩阵做一次分块初等变换所得的矩阵称之为分块初等矩阵。根据所做的分块初等变换不同，分块初等矩阵有如下三种类型： ； 或 ； 或 . 其中Q为可逆矩阵。 2 分块初等矩阵的性质 性质1 分块初等矩阵均为可逆的，且逆矩阵仍为分块初等矩阵。 如 ;;. 根据分块矩阵初等变换的定义易得 性质2 分块初等矩阵的转置仍为初等矩阵。如 ;;. 性质3 设A为分块矩阵，则对A施行一次初等行（列）变换，相当于在A的左（右）边乘以一个对应的分块初等矩阵。如 ,而; , 而 . ,而. 性质4 分块矩阵左（右）乘一个分块初等矩阵，分块矩阵的秩不变。 3 分块矩阵初等变换的应用 求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩是高等代数中常见的问题。而对于高阶矩阵而言，这些问题的求解往往过于繁琐，甚至无法求解。但如果利用矩阵分块的方法，把矩阵的初等变换的思想和方法运用于分块矩阵，则可起到事半功倍的效果。 3.1 分块矩阵在行列式计算中的应用 在计算高阶矩阵行列式时，通常将矩阵分块，利用分块矩阵的初等变换将其化为三角矩阵（或准对角矩阵）的形式，再利用三角形矩阵、准对角形矩阵行列式的性质计算。 例1 设A、B均为n×n阵，证明行列式的乘积公式 证明 作，则 . 又 ， 所以 , , , 所以. 例2 A、B、C、D均为n阶矩阵，其中A可逆，则 . 证明 因为 所以 , . 例3 求行列式的值. 解 将P进行分块，得 ， 其中A=,B=,C=,D=