状态空间表达式的解.ppt
控制系统状态空间表达式的解第30页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解§2-5离散时间系统状态方程的解离散时间状态方程求解一般有两种方法:递推法(迭代法)和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用,而后者只适用于定常系统。我们只介绍递推法。对于线性定常离散系统状态方程:依次取得:第31页,共43页,星期日,2025年,2月5日关于状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第1页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解(见第三章和第四章)第2页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解第3页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解第4页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解第5页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解§2-1线性定常齐次状态方程的解----自由解所谓齐次方程解,也就是系统的自由解,是系统在没有控制输入的情况下,由系统的初始状态引起的自由运动,其状态方程为:其唯一确定的解为:若t0=0,则有eAt为一矩阵指数函数,它是一个n×n的方阵第6页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解矩阵指数函数:§2-2矩阵指数函数----状态转移矩阵从可看出:形式上是一个矩阵指数函数,且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上,它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量也就是说它起到了系统状态转移的作用,所以我们称之为状态转移矩阵(TheStateTransitionMatrix),并记:……由此若已知状态转移矩阵和初始状态,即可求的任意时刻的状态.第7页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解***状态转移矩阵的基本性质****性质1:组合性质性质2:性质3:转移矩阵的逆意味着时间的逆转第8页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解性质4:性质5:对于n阶方阵A和B,当且仅当AB=BA:即A,B可交换时,有:、??????????????????证明过程见现代2--P6证明过程见现代2--P6可用来从给定的矩阵中求出系统矩阵A第9页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解***几个特殊的状态转移矩阵****1.若A为对角阵2.若A能够通过非奇异变换对角化,即:存在T使则则证明过程见现代2—P8证明过程见现代2—P9第10页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解3.若A为Jordan矩阵.即:则证明过程见现代2—P9第11页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解***状态转移矩阵的计算****1.根据定义直接计算:2.利用拉普拉斯反变换对两边取拉氏变换,得:拉氏反变换,得:第12页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解3.变换A为Jordan标准型(1)A的特征根互异:存在非奇异变换阵T使A成为对角阵第13页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解(2)A的特征根有重根:存在非奇异变换阵T使A成为Jordan型第14页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解4.应用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley-Hamilton)求eAT考虑nXn维矩阵A及其特征方程:凯莱-哈密尔顿定理指出:矩阵A满足其自身的特征方程,即:由此可得:其中αi(t)可计算如下:第15页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解(1)A的特征值互异时:第16页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解(2)A的特征值为重根时:第17页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解Example:1.Example:2.第18页,共43页,星期日,2025年,2月5日控制系统状态空间表达式的解§2-3线性定常系统非齐次方程的解线性定常非齐次状态方程为:从物理意义上看,系统从时刻的初始状态开始,在外界控制的作用下运动。要求系统在任意采用类似于齐次标量定常微分方程的解法,上式可写成:时刻的状态