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状态空间表达式.ppt

发布:2025-02-19约6.06千字共10页下载文档
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能观型输出方程状态方程1.4.3多输入一多输出系统微分方程的实现一双输入一双输出的三阶系统为例,设系统的微积分方程为:(35)同单输入一单输出系统一样,式(35)系统的实现也是非唯一的。现采用模拟结构图的方法,按高阶导数项求解:对每一个方程积分:故得模拟结构图,如下图所示:取每个积分器的输出为一个状态变量,如上图所示。则式(35)的一种实现为:或表示为:(36)1.5状态矢量的线性变换(坐标变换)1.5.1系统状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的定常系统,可以选取许多种状态变量,相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统,也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间,实际上是一种矢量的线性变换(或称坐标变换)。设给定系统为:(37)我们总可以找到任意一个非奇异矩阵将原状态矢量作线性变换,得到另一状态矢量设变换关系为:即代入式(37),得到新的状态空间表达式:(38)设系统的状态空间表达式为:例:求时新的状态空间表达式.初值解:以z为变量的状态空间表达式形式:例续:初值新的状态空间表达式系统特征值就是系统矩阵的特征值,也即特征方程:(43)的根。方阵A且有n个特征值;实际物理系统中,为实数方阵,故特征值或为实数,或为成对共轭复数;如为实对称方阵,则其特征值都是实数。2.系统的不变量与特征值的不变性同一系统,经非奇异变换后,得:其特征方程为:(44)1.5.2系统特征值的不变性及系统的不变量1.系统特征值式(43)与式(44)形式虽然不同,但实际是相等的,即系统的非奇异变换,其特征值是不变的。可以证明如下:将特征方程写成多项式形式由于特征值全由特征多项式的系数唯一确定,而特征值经非奇异变换是不变的,那么这些系统也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。3.特征矢量一个维矢量:经过以作为变换阵的变换,得到一个新的矢量即如果此即矢量,经线性变换后,方向不变,仅长度变化倍则称为的对应于的特征矢量,此时有1.5.3状态空间表达式变换为约旦标准型这里的问题是将(45)变换为:(46)根据系统矩阵求其特征值,可以直接写出系统的约旦标准型矩阵无重根时有重根时系统特征值的不变性线性变换下系统特征值保持不变特征值保持不变?保持稳定性不变?保持动态性能不变线性变换不改变系统的能控性、能观性设系统A特征方程:|lI-A|系统A特征值:系统A1特征方程:|lI-A1|系统A1特征值:特征值不变1.5.3状态空间表达式的Jordan标准型系统方程:系统的Jordan标准型:设线性变换T,令其中:J为A的Jordan标准型状态空间表达式的Jordan标准型求?矩阵AA的Jordan标准型J的特征值,A的Jordan标准型J是唯一的(Jk顺序可变)采用A的Jordan标准型可简化部分分析、计算1.A有n个线性无关的特征向量矩阵AA的Jordan标准型JA(n╳n阵)的特征向量为矩阵A的特征值记Jordan标准型J求A的Jordan标准型特征方程:|lI-A|=特征值:例1-10:解:特征值互异特征向量:例解:][213pppT=A的Jordan标准型特征值:求A的Jordan标准型例:特征方程:|lI-A|=解:特征向量:Jordan标准型解:A特征值:A阵为标准型,即下面介绍一类特殊矩阵的特征变换矩阵同样,已知状态空间表达式,也可画出相应的模拟结构图,下图是下列三阶系统的模拟结构图。下图是下列二输出的二阶系统的模拟结构图。1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一)这个表达式一般可以从三个途径求得:一是由系统框图来建立,即根据系统各个环节的实际连接,写出相应的状态空问表达式;二是从系统的物理或化学的机理出发进行推

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