2015高考数学(理)一轮复习配套文档第7章 第7节 空间向量在立体几何中的应用.pdf

第七节空间向量在立体几何中的应用

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1．理解直线的方向向量与平面的法向量．

2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．

3．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．

4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解

向量方法在研究立体几何问题中的应用．

1．两个重要向量

(1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数

个．

(2)平面的法向量

ll

直线⊥平面，取直线的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量．显然一个

平面的法向量有无数个，它们是共线向量．

2．空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

llllnnnλn

直线，的方向向量∥∥⇔＝

12121212

nnllnnnn

分别为，.⊥⊥⇔·＝0

12121212

llnmmn

直线的方向向量为∥⊥⇔·＝0

n，平面的法向量为

lnmnλm

⊥∥⇔＝

m

ββnmnλm

平面、的法向量∥∥⇔＝

nmβnmnm

分别为，.⊥⊥⇔·＝0

3．两条异面直线所成角的求法

ab

|·|

ababθφθ

设两条异面直线，的方向向量为，，其夹角为，则cos＝|cos|＝|a||b|

φab

(其中为异面直线，所成的角)．

4．直线和平面所成的角的求法

lenl

如图所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面