2017_2018学年高中数学第一章基本初等函数Ⅱ1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1同步过关提升特训新人教B版必修.doc
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1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质
第1课时 正弦函数的图象与性质
课时过关·能力提升
1.已知函数f(x)=-sin x,下列结论错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间0,π2上是减函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析:结合f(x)=-sin x的图象可知,f(x)的图象关于原点对称,不关于直线x=0对称,故C错.
答案:C
2.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )
A.π2,π B.(π,2π)
C.π,3π2 D.(0,π)
解析:画出y=|sin x|的图象(图略),易知其一个单调递增区间是π,3π2.
答案:C
3.函数f(x)=-2sin x+1,x∈-π2,π的值域是( )
A.[1,3] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.[-1,1]
解析:当x∈-π2,π时,sin x∈[-1,1],-2sin x+1∈[-1,3],即f(x)的值域是[-1,3].
答案:B
4.若f(x)=4sinωx+π6(ω0)的最小正周期是π,则fπ6的值等于( )
A.4 B.0 C.-4 D.23
解析:由已知得2πω=π,所以ω=2,即f(x)=4sin2x+π6,于是fπ6=4sin2×π6+π6=4.
答案:A
★5.已知函数f(x)=2sin x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )
A.π4 B.π2 C.π D.2π
解析:由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin x的半个周期.
∵f(x)=2sin x的周期为2π,
∴|x1-x2|的最小值为π.
答案:C
6.若f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x2-sin x,则当x0时,f(x)= .?
解析:当x0时,-x0,
∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴当x0时,f(x)=-x2-sin x.
答案:-x2-sin x
7.当函数f(x)=2sinx-π3(0≤x≤2π)取最大值时,x= .?
解析:当f(x)取最大值时,x-π3=2kπ+π2(k∈Z),
∴x=2kπ+5π6(k∈Z).
又∵0≤x≤2π,∴x=5π6.
答案:5π6
8.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π2的周期函数,若f(x)=cosx,-π2≤x≤0,sinx,0x≤π,则f-15π4= .?
解析:由题意,得f-15π4=f-3π2×3+3π4
=f3π4=sin3π4=sinπ-π4=sinπ4=22.
答案:22
9.求函数f(x)=sin2x+6sin x-1在0,π2上的最值.
解:f(x)=sin2x+6sin x-1=(sin x+3)2-10.
因为x∈0,π2,所以0≤sin x≤1,
因此当sin x=0时,f(x)取最小值-1;当sin x=1时,f(x)取最大值6.
10.若f(x)=asin x+b-1的最大值是5,最小值是-1,求a,b的值.
解:因为x∈R,所以-1≤sin x≤1.
当a0时,sin x=1时,f(x)取最大值,sin x=-1时,f(x)取最小值,即a0,a+b-1=5,-a+b-1=-1,解得a=3,b=3.
当a0时,sin x=1时,f(x)取最小值,sin x=-1时,f(x)取最大值,即a0,-a+b-1=5,a+b-1=-1,解得a=-3,b=3.
综上,a=3,b=3或a=-3,b=3.
★11.设函数f(x)=3sinωx+π6,ω0,x∈(-∞,+∞),且以π2为最小正周期.
(1)求f(0);
(2)求f(x)的解析式;
(3)已知fα4+π12=95,求sin α的值.
解:(1)由题设可知f(0)=3sinπ6=32.
(2)∵f(x)的最小正周期为π2,ω0,∴ω=2ππ2=4.
∴f(x)=3sin4x+π6.
(3)∵fα4+π12=3sinα+π3+π6=3cos α=95,
∴cos α=35.
∴sin α=±1-cos2α=±45.
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