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Credited to Kuphrer, Caspar, Bobbie, Werbepan, Huang. Some rights reserved. 《几何与代数》习题答案 第五章 ？ 何 ， 》 几 三 经 物 剩 算 问 之 子 ， 三 数 孙 二 三 五 《 剩 ， 五 ︱ 之 数 ， ︱ 数 其 二 七 知 剩 七 不 之 物 数 有 今 一般理论 一、一元多项式代数 定义 设F 是一个数域, F 上的一个代数A 是F 上一个线性空间,并且在其中定义了 乘法,满足对加法的分配律和与数乘的结合性. 定义 如果 I 是 F 上代数 A 的一个子空间,而且具有性质:对任意的 b ?I ,a ?A ,有 ab,ba ?I ,那么就称I 是A 的一个理想. ￥ 定理 F ￥ =?n =1 F n 是数域F 上一个有单位元的交换代数,称为 F 上的多项式代 数. 定义 非零多项式最后一个非零系数称为首项系数,它的指标称为该多项式的次数. 不定义零多项式的次数或者说它的次数小于任意有限数. 定理(次数公式) 设f (x ),g (x ) 是F[x ] 中两个非零多项式,则 1)deg(f (x ) +g(x )) ￡max{deg f (x ),degg(x )} ; 2) deg(f (x )g(x )) =deg f (x ) +degg(x ) . 推论 设f ,g ?F [x ] .若f 10,g 10 ,则fg 10 ,即F [x ] 是整环. 二、整除与同余 定理 对于 F [x ] 中任意两个多项式f (x )与 g(x ) ,其中 g(x ) 1 0 ,一定存在 F [x ] 中的多 项式 q(x),r(x) ,使得 f (x ) =q (x )g (x ) +r (x ) ,其中 deg r(x) deg g(x) ,且这样的 q(x),r(x) 是由 f (x ),g (x ) 唯一决定的. 定义 设f ,g ?F [x ] .如果存在h ?F[x ] ,使得f =gh ,那么我们称 g 整除f ,记为g | f . Powered by Mathtype?, Design Science Corporation. 1 Credited to Kuphrer, Caspar, Bobbie, Werbepan, Huang. Some rights reserved. 定义 设 f ,g ,m ?F [x ] , m 10 , 如 果 m | f -g , 则 称 f 与 g 模 m 同 余 , 记 为 f og modm . 命题 设数域K êF ,则在F [x ] 中g |f ,当且仅当在K [x ] 中g |f . 三、多项式的根 定义 设f (x