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第七章复数章末测试（提升卷）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2425浙江杭州）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，所以所求共轭复数是.故选：B
2．（2425宁夏银川）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为，则，
所以，，则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
3（2425·广西）已知复数z与复平面内的点对应，则（?????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由复数的几何意义可知，则故选：B.
4．（2425山东滨州）已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是（???）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】依题意，设，且，则，
因是实数，故，解得，则，，故的虚部是2.故选：D.
5．（2324·山东青岛·期末）“”是“复数为纯虚数”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】复数，
当时，，复数，是纯虚数；
当复数为纯虚数时，有，解得.
则“”是“复数为纯虚数”的充要条件.
故选：C
6．（2025·山西）已知复数z满足（为z的共轭复数），复数z在复平面内对应点为，则点Z的轨迹方程为（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，所以，即Z点的轨迹方程为．故选：D
7．（2024·山东）若在复数范围内分解为，则在复数平面内，复数对应的点位于（????）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
【答案】B
【解析】由，得，
当，时，，，
所以；
当，时，，
综上，复数对应的点位于虚轴上.
故选：B．
8．（2024海南）在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（????）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意，，将向量绕点逆时针旋转90°所得向量坐标为，，
则有，解得，因此，即，
所以.
故选：A
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2425吉林长春）已知，，若，为纯虚数，为实数，则（????）
A． B．的虚部为 C． D．
【答案】ACD
【解析】，故A正确；
，虚部为，故B错误；
为纯虚数，，即，故C正确；
为实数，，解得，故D正确.
故选：ACD
10．（2425河北保定）已知复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（????）
A．B．
C．在复平面内对应的点在第二象限D．若，则
【答案】ABD
【解析】A.由题意得，，∴，A正确；
B.，B正确；
C.，在复平面内对应的点为，在第一象限，C错误；
D.由题意得，，∴，解得，
∴，D正确.故选：ABD.
11．（2425湖南长沙）已知复数，，是方程的三个互不相等的复数根，则（???）
A．可能是纯虚数 B．，，的实部之和为2
C．，，的虚部之积为2 D．
【答案】ABD
【解析】因为，其三个不同的复数根为：，，，
当时，此时为纯虚数，故A正确；
因为三个根的实部分别是0，1，1，三个实部之和为2，故B正确；
因为三个根的虚部分别是1，，，三个虚部之积为，故C错误；
根据模长定义，，故D正确.
故选：ABD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2425湖南常德·期末）已知复数满足，则复数．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，.
故答案为：.
13．（2425上海）已知复数是关于的方程（）的一个根，若，则，则.
【答案】1
【解析】因为，可设，，
因为，所以，解得，所以，
又因为是关于的方程（）的一个根，
可知另一个根为，
则，解得，，所以.
故答案为：1.
14．（2024·上海）已知复数和复数满足（为虚数单位），则.
【答案】
【解析】设，
则，
所以，
因为，
所以，
则.
故答案为：.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2425江西宜春）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
(1)设复数，求；
(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）解：因为，则，
所以为纯虚数，
所以，解得.
所以，