可分离变量的方程.pptx

一阶方程有时也可以写成如下的对称形式它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程也可以视为以 y 为自变量以 x 为未知函数的方程很重要的观点考虑方程或写成两边积分得 但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解如困难就在于方程的右端含有未知函数求不出来积分为了解决这个问题方程的两边同乘以使方程变为这样变量 x , y 已经分离在等式的两端两边积分得或是方程的通解可以验证注y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中 称为奇解一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.这类方程的特点是经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分解法分离变量法(或写成y???(x)?(y)) 为微分方程的解.求解步骤分离变量两边积分得到隐式通解或通积分讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程: 微分方程分离变量是否可分离变量 y??2xy 3x2?5x?y??0 (x2?y2)dx?xydy=0 y??1?x?y2?xy2 y??10x?y是y?1dy?2xdx是dy?(3x2?5x)dx————不是是y??(1?x)(1?y2)是10?ydy?10xdx————不是二、典型例题例1. 求微分方程的通解.说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,解: 分离变量得因此可能增、两边积分减解.或得即( C 为任意常数 )( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )练习 求解微分方程解分离变量两端积分例2. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )由初始条件得 C = 1,故所求特解为例3. 求下述微分方程的通解:则解: 令 故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:练习:解 分离变量即( C 0 )解由题设条件衰变规律 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的, 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少?例5设鼓风机开动后 时刻 的含量为在 内,的通入量的排出量解的排出量的改变量6分钟后, 车间内 的百分比降低到的通入量例6.设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分 :得t 足够大时利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解三、小结分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.注 分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于0）思考题求解微分方程思考题解答为所求解.练 习 题练习题答案