导数与函数单调性的几个常见误区剖析.pdf

24聊 上海中学数学·2007年第4期 导数与函数单调性的几个常见误区剖析 511442 华南师范大学附中番禺学校 蔡军喜 导数是高中数学限定选修课中的重要内 调性中出现的一些常见误区加以剖析，供参考． 容，也是解决实际问题的强有力的工具．运用导 误区一：导数与函数单调性的关系不明确 数的有关知识研究函数的性质(如单调性、极 例1 值、最值)，解决与切线有关的问题深受命题者 在R上是减函数，求实数n的取值范围． 的青睐，成为历年高考的热点之一．但很多学生 在应用过程中经常会出现一些认识上的偏差， 上是减函数，．．．／(z)o在R上恒成立，即△一 致使解题失误．下面，笔者就导数在解决函数单 (72∈N。)恒成立铮函数，(z)在区间[1，十o。)上 为减函数∞，(z)≤o，在[1，+o。)恒成立． 为增函数；当z∈(1。＆÷，+o。)时，／(z)o， ，(z)为减函数5 因为／(z)一矿(1+z1眦)，由／(z)≤o在 [1，+o。)恒成立，即1+zln口≤o(z≥1)恒成立， 所以z=1。gd÷是函 1 得1n口≤一土(z≥1)恒成立，于是1n口≤ 数，(z)的极大点，而点口 Z ／ 1 1 f一点1一一l，即o口≤土． ∈(÷，丢)时，z一蛾÷ ／ ＼ z，mjn e ∈(1，2)，即函数，(z)在区 剖析：上面解题的误区在于函数3，一厂(以) (，l∈N‘)是增(减)函数，推出3，一厂(z)(z≥1)是 增(减)函数，实际上函数y一，(n)(咒∈N’)是增 (减)函数是了=，(z)(z≥1)是增(减)函数的必 要不充分条件． 如右图所示，函数y= L 1 1 口? ，(，1)(挖∈N。)是增函数，但 ÷的近似值为o．368，我们在(o，÷]外取一 C ( 是函数y一，(z)(z≥1)却 ＼ l 1 0 是一个非单调的函数． 0V夕姊 图，显然口=O．4满足题意，这也说明范围(0， 正解：On1，咒∈ 1 二]是不准确的． N。，口。n。+l甘，z·口“ C (计1)·一1甘口责． 通过以上几例我们可以发现，数列的单调 与函数的单调性二者并不总是统一一致的，将 酌(赢)。丢删口㈣(。专)．数列问题简单地函数化导数化，极易出现错误． 因此，在涉及数列问题时我们应该更多地首先 评注：事实上，令／(z)=矿(1+zln口)一。 ’ 想到数列自身的特征，利用数列自身所具有的 得z=l。g。÷， 性质解题．如果用导数解决数列的问题，一定要 把导数和数列进行有机“整合”，避