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24聊 上海中学数学·2007年第4期
导数与函数单调性的几个常见误区剖析
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华南师范大学附中番禺学校 蔡军喜
导数是高中数学限定选修课中的重要内 调性中出现的一些常见误区加以剖析,供参考.
容,也是解决实际问题的强有力的工具.运用导 误区一:导数与函数单调性的关系不明确
数的有关知识研究函数的性质(如单调性、极 例1
值、最值),解决与切线有关的问题深受命题者 在R上是减函数,求实数n的取值范围.
的青睐,成为历年高考的热点之一.但很多学生
在应用过程中经常会出现一些认识上的偏差, 上是减函数,.../(z)o在R上恒成立,即△一
致使解题失误.下面,笔者就导数在解决函数单
(72∈N。)恒成立铮函数,(z)在区间[1,十o。)上
为减函数∞,(z)≤o,在[1,+o。)恒成立. 为增函数;当z∈(1。&÷,+o。)时,/(z)o,
,(z)为减函数5
因为/(z)一矿(1+z1眦),由/(z)≤o在
[1,+o。)恒成立,即1+zln口≤o(z≥1)恒成立,
所以z=1。gd÷是函
1
得1n口≤一土(z≥1)恒成立,于是1n口≤
数,(z)的极大点,而点口
Z
/
1 1
f一点1一一l,即o口≤土. ∈(÷,丢)时,z一蛾÷ /
\ z,mjn e
∈(1,2),即函数,(z)在区
剖析:上面解题的误区在于函数3,一厂(以)
(,l∈N‘)是增(减)函数,推出3,一厂(z)(z≥1)是
增(减)函数,实际上函数y一,(n)(咒∈N’)是增
(减)函数是了=,(z)(z≥1)是增(减)函数的必
要不充分条件.
如右图所示,函数y= L 1 1
口?
,(,1)(挖∈N。)是增函数,但 ÷的近似值为o.368,我们在(o,÷]外取一
C (
是函数y一,(z)(z≥1)却
\ l 1 0
是一个非单调的函数. 0V夕姊 图,显然口=O.4满足题意,这也说明范围(0,
正解:On1,咒∈ 1
二]是不准确的.
N。,口。n。+l甘,z·口“ C
(计1)·一1甘口责. 通过以上几例我们可以发现,数列的单调
与函数的单调性二者并不总是统一一致的,将
酌(赢)。丢删口㈣(。专).数列问题简单地函数化导数化,极易出现错误.
因此,在涉及数列问题时我们应该更多地首先
评注:事实上,令/(z)=矿(1+zln口)一。
’ 想到数列自身的特征,利用数列自身所具有的
得z=l。g。÷, 性质解题.如果用导数解决数列的问题,一定要
把导数和数列进行有机“整合”,避
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