1.3.1函数的单调性与导数1【荐】.ppt

练习:判断下列函数的单调性 (1)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); (2)f(x)=ex-x； * * * * * * * 1.3.1 函数的单调性与导数 o y x y o x 1 o y x 1 在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）上分别是减函数。 但在定义域上不是减函数。 在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。 在(－ ∞,＋∞)上是增函数 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 y x o a b y x o a b 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数； 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上有单调性。 G 称为单调区间 G = ( a , b ) 一、复习与引入: (1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单. 1) 如果恒有 f′(x)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 定理 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 例1、已知导函数 的下列信息： 当1x4时， 0; 当x4,或x1时， 0; 当x=4,或x=1时， =0.试画出函数f(x)图象 的大致形状。 O 1 4 x y y=f(x) 临界点 例2.确定函数 在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？ 2 x y o 解: (1)求函数的定义域 函数f (x)的定义域是(－ ∞,＋∞) （2）求函数的导数 （3）令 以及 求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。 令2x－40,解得x2 ∴x∈(2,＋∞)时， 是增函数 令2x－40,解得x2 ∴x∈(-∞,2)时， 是减函数 利用导数讨论函数单调的步骤: (2)求导数 (3)解不等式组 得f(x)的单调递增区间; 解不等式组 得f(x)的单调递减区间. (1)求 的定义域D 说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集. 练习：确定函数 ，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。 ∴单调递增区间为: (2,＋∞) 、 (－∞，0) 单调递减区间为: (0,2) 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 例3:确定函数f(x)=x/2+sinx; 的单调区间: 解:(1)函数的定义域是R, 令 ,解得 令 ,解得 因此,f(x)的递增区间是: 递减区间是: -1 1 -2 2 -1 -2 1 2 x y Ｃ 　Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　　Ｃ　　　　　　Ｄ -２ -１ -１ ２ -２ ２ １ -２ １ -１ -１ 例4:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范 围,并求其单调区间. 解: 若a0, 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾. 若a=0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾. 若a0,则 ,易知此时f(x) 恰有三个单调区间. 故a0,其单调区间是: 单调递增区间: 单调递减区间: