函数的单调性与导数材料.ppt

练习： 1， 2， 3， * 一.复习 1 、 某点处导数的定义—— 这一点处的导数即为这一点处切线的斜率 2 、 某点处导数的几何意义—— 3 、 导函数的定义—— 4、由定义求导数的步骤（三步法） （4）.对数函数的导数: （5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ ? 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1 5.基本初等函数的导数公式 6.导数运算法则 二.作业讲评 引例、 已知函数y=2x3-6x2+7, 求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的. （1）任取x1x2 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形 （3）判断符号 （4）下结论 用定义法判断函数单调性的步骤： 引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？ 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正 若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负， 分析：从图形看 1) 如果恒有f (x)0，那么y＝f(x)在这个区间(a,b)内单调递增； 2) 如果恒有f (x)0，那么y＝f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。 一般地，函数 y＝f(x)在某个区间(a,b)内 定理 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. ′ ′ 二.例题： 1.设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y=f ′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是( ) x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 A B C D 2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 利用导数判断函数单调性的基本步骤： (1)确定定义域； (2)求f ′(x); (3)在f(x)的定义域内解不等式f ′(x)0和f ′(x)0; (4)确定函数f(x)的单调区间。 注、单调区间不 以“并集”出现。 3：设函数f(x)=ax- (a+1)ln(x+1)，其中a≥-1，求f(x)的单调区间。 变式1：已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区间(0,1)上是增函数，求实数a的取值范围。 变式2：已知x1，求证：xln(x+1). 小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f (x)0,得函数单增区间; 解不等式f (x)0,得函数单减区间. ′ ′ 引例：你能确定y=2x3-6x2+7的大致图象吗? 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值. 函数极值的定义—— 如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f/(x)0，在x0右侧附近f/(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值. 导数的应用二、求函数的极值 如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f/(x)0，在x0右侧附近f/(x)0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值 例1 、求函数 极值. 注、极值点是导数值为0的点的横坐标 能化出草图吗? 练:(1)y=(x2-1)3+1 (2)y=-2x2+5x (3)y=x3-27x (4)y=3x2-x3 用导数法求解函数极值： (1)??求导函数f /(x)； (2)?求解方程f /(x)=0,得出的根称为可能极值点； (3)???检查f /(x)在方程f /(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值.一般通过列表获得． (4)??结论 ??? 用导数法求解函数极值的步骤：