2024年新教材高考数学一轮复习考点规范练47直线与圆锥曲线含解析新人教版.docx
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考点规范练47直线与圆锥曲线
一、基础巩固
1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点
A.12 B.-12 C.2 D
答案:B
解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8,y1+y2=4,x
两式相减,得(x1
所以2(x1
所以k=y1-y2
2.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的
A.2 B.3 C.6 D.8
答案:C
解析:由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),
则y02=31-x024
因为OP=(x0,y0),FP=(x0+1,y0),
所以OP·FP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+y02=x02
因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,OP·FP
3.(2024四川成都七中三模)已知抛物线y2=2x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为C,D,且|CF|=2|DF|,则直线l的斜率为()
A.2 B.12 C.
答案:C
解析:依题意,点F12,0,设直线l的方程为x=ky+12,点A(x1,y1),B(x2,y2),且y1
由y2=2x,x=ky+12,得y2-2ky-1
则y1+y2=2k,y1y2=-1.
由已知得点C-12,y
因为|CF|=2|DF|,
所以1+y12=4+4y22,即y1
由y1y
所以2k=32,即k=
故直线l的斜率为4
4.(2024云南师大附中高三月考)已知双曲线C:x22-y2=1,若直线l:y=kx+m(km≠0)与双曲线C的右支交于不同的两点M,N,且点M,N都在以A(0,-1)为圆心的圆上,则m的取值范围是(
A.(3,+∞)
B.-13,
C.(-∞,0)∪(3,+∞)
D.
答案:A
解析:设点M(x1,y1),N(x2,y2),
由y=kx+m,x22-y2=1,得(1-2k2
因为直线l与双曲线的右支相交,所以1-2k2≠0,Δ=16k2m2+8(1-2k2)(1+m2)0,即1+m2-2k20,
x1+x2=4km1-2k20,x1x
设MN的中点为G(x0,y0),则x0=2km1-2k
所以kAG=1+
由题意,可知AG⊥MN,所以1+m-
即2k2=3m+1.
因为x1x20,所以1-2k20,所以m0.
将2k2=3m+1代入1+m2-2k20,解得m3.
5.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为()
A.839 B.16
答案:C
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵AF=3FB
∴y1=-3y2.设直线l的方程为x=my+1,
由y2=4x,x=my+1消去x,得
∴y1y2=-4,
∴y1=23,y2=-
∴m=33.∴x1+x2=103,AB的中点坐标为5
∴过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33x-53,令y=0,可得x=113,即
∴S△ABG=1
6.已知过双曲线x2a2-y2b2=
答案:(1,5)
解析:由题意得ba2,∴e=
∵e1,∴1e5,∴此双曲线离心率的取值范围为(1,5).
7.设过抛物线y2=2px(p0)上随意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p0)交于A,B两点,直线OP与抛物线y2=8px(p0)的另一个交点为Q,则S△ABQS△
答案:3
解析:设直线OP的方程为y=kx(k≠0),
由y=kx,y
由y=kx,y
∴|OP|=4p
|PQ|=36p
∴S△ABQ
8.已知双曲线与椭圆x29+y23=1有相同的焦点,且以x+2y=0为其一条渐近线,则双曲线方程为
答案:x24-y
解析:由双曲线与椭圆x29+y2
又双曲线以x+2y=0为其一条渐近线,所以6-
解得a2=4.
所以双曲线的方程为x24-
右焦点坐标为(6,0),当过右焦点的直线垂直于x轴时,代入双曲线方程得y=±1,则弦长为24,不满意题意.
当过右焦点的直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-6),代入双曲线方程得(2k2-1)x2-46k2x+12k2+4=0,设直线与双曲线的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=46k22k2-1
所以弦长为1+k2(x1+
故满意题意的弦有3条.
9.(2024广东湛江二模)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点P(0,4)的动直线l与抛物线C交于A,B两点,当点F在直线l上时,直线l的斜率为-2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)在线段AB上取点D,满意PA=λPB,AD=λDB
(1)解:由题意,得点Fp2,0,则4-0