2024年新教材高考数学一轮复习考点规范练16利用导数研究函数的极值最值含解析新人教版.docx
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考点规范练16利用导数探讨函数的极值、最值
一、基础巩固
1.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,微小值点为n,则m+n等于()
A.0 B.2
C.-4 D.-2
答案:B
解析:f(x)=3x2-6x+1,因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,微小值点为n,
所以x1=m,x2=n为3x2-6x+1=0的两根.
由根与系数的关系,可知m+n=-(-6)3
2.若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则()
A.f(x)有极大值-1 B.f(x)有微小值-1
C.f(x)有极大值0 D.f(x)有微小值0
答案:A
解析:f(x)=a+1x(x0)
∵x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,
∴f(1)=0,∴a+11=0,∴a=-1
当x1时,f(x)0,f(x)单调递减;当0x1时,f(x)0,f(x)单调递增.
因此当x=1时,f(x)有极大值-1.
3.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为()
A.-1 B.1-e
C.-e D.0
答案:A
解析:f(x)=1x-1=1-xx,令f(x)0,得0x1;令f(x)0,得1xe,则函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,e)内单调递减,即当x=1时,函数f(x)取极大值,这个极大值为函数f(x)在区间(0,e]上的最大值,所以f(x)max=f
4.(2024辽宁铁岭一模)若a∈R,则“a3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)上有极值”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由题意,函数f(x)=(x-a)ex,则f(x)=(x-a+1)ex.
令f(x)=0,可得x=a-1,
当xa-1时,f(x)0;当xa-1时,f(x)0,
所以函数y=f(x)在x=a-1处取得微小值.
若函数y=f(x)在区间(0,+∞)上有极值,则a-10,解得a1.
因此“a3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)上有极值”的充分不必要条件.
5.已知函数f(x)=13x3-4x+a在区间[0,3]上的最大值为2,则a的值为(
A.-103 B.2 C.5 D
答案:B
解析:f(x)=x2-4.令f(x)0,解得x2或x-2,
令f(x)0,解得-2x2,
故f(x)在区间[0,2)内单调递减,在区间(2,3]内单调递增,故f(x)的最大值是f(0)或f(3),
而f(0)=af(3)=a-3,故f(0)=a=2.
6.(多选)设f(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f(x)+xf(x)=lnx,f(1)=12,则下列结论不正确的是(
A.xf(x)在区间(0,+∞)内单调递增
B.xf(x)在区间(0,+∞)内单调递减
C.xf(x)在区间(0,+∞)内有极大值1
D.xf(x)在区间(0,+∞)内有微小值1
答案:ABC
解析:由x2f(x)+xf(x)=lnx,得x0,
则xf(x)+f(x)=lnxx,即[xf(x)]
设g(x)=xf(x),则由g(x)=lnxx0,得
由g(x)0,得0x1,
即xf(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(0,1)内单调递减,即当x=1时,函数g(x)=xf(x)取得微小值g(1)=f(1)=1
7.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a0,b∈R)的一个极值点,则lna与b-1的大小关系是()
A.lnab-1 B.lnab-1
C.lna=b-1 D.以上都不对
答案:B
解析:f(x)=3ax2-b-1x,∵x=1是函数f(x
∴f(1)=3a-b-1=0,即3a-1=b.
令g(a)=lna-(b-1)=lna-3a+2(a0),则g(a)=1a-3=1
即g(a)在区间0,13内单调递增,在区间13,+
故g(a)max=g13=1-ln30.故lnab-1
8.(2024辽宁盘锦中学高三月考)写出一个存在极值的奇函数.?
答案:f(x)=sinx(答案不唯一,满意条件即可)
解析:依据题意,函数可以为f(x)=sinx,
当x=π2+2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx取得极大值,当x=-π2+2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx取得微小值.又f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x),所以函数f(x)=sinx
9.若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处有微小值,则a=.?
答案:2
解析:由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,可知f(x)=3x2-4ax+a2.依题意可得f(2)=3×22-4a×2+a2=0,解得a=2或a=6.当a=