高等数学（第三版）课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率.pptx

隐函数及由参数方程

所确定的函数的导数

相关变化率

一、隐函数的求导方法

二、幂指函数及“乘积型”复杂函数的求导方法

三、由参数方程所确定的函数的求导法则

四、相关变化率

一、隐函数的求导方法

方程两边对自变量x求导，得到关于所求导

数的等式，从中出解,即得所求导数．

解

解得

例1

设

解

解得

例2

解

例3

设

二、幂指函数及“乘积型”复杂函数的

求导方法

解一

等式两边取对数得

（对数求导法）

解二

（指数求导法）

解

等式两边取对数得

三、由参数方程确定的函数的求导法则

解

解

四、相关变化率

▲相关变化率问题:

已知其中一个变化率，求出另一个变化率．

▲相关变化率问题解法:

找出相关变量的关系式

对t求导

得两个相关变化率之间的关系式

求出未知的变化率

例8

解

试求当容器内水

有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以

位等于锥高的一半时水面上升的速率.

设时刻t容器内水面高度为x,

水的

两边对t求导，得

而

故

体积为V,则

例9

的速率自顶部向容器内注水,

解

再求导,得

②

当

时,

故由①得

①

思考题1

思考题1解答

方程组两边同时对t求导,得

思考题2

思考题2解答

练习

1.求螺线

在对应于

的点处的切线方程.

解:化为参数方程

当

时对应点

斜率

∴切线方程为

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求其反函数的导数.

解:

方法1

方法2

2.设

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3.设

求

提示:分别用对数微分法求

答案:

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