高等数学(第三版)课件:隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率.pptx
隐函数及由参数方程
所确定的函数的导数
相关变化率
一、隐函数的求导方法
二、幂指函数及“乘积型”复杂函数的求导方法
三、由参数方程所确定的函数的求导法则
四、相关变化率
一、隐函数的求导方法
方程两边对自变量x求导,得到关于所求导
数的等式,从中出解,即得所求导数.
解
解得
例1
设
解
解得
例2
解
例3
设
二、幂指函数及“乘积型”复杂函数的
求导方法
解一
等式两边取对数得
(对数求导法)
解二
(指数求导法)
解
等式两边取对数得
三、由参数方程确定的函数的求导法则
解
解
四、相关变化率
▲相关变化率问题:
已知其中一个变化率,求出另一个变化率.
▲相关变化率问题解法:
找出相关变量的关系式
对t求导
得两个相关变化率之间的关系式
求出未知的变化率
例8
解
试求当容器内水
有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以
位等于锥高的一半时水面上升的速率.
设时刻t容器内水面高度为x,
水的
两边对t求导,得
而
故
体积为V,则
例9
的速率自顶部向容器内注水,
解
再求导,得
②
当
时,
故由①得
①
思考题1
思考题1解答
方程组两边同时对t求导,得
思考题2
思考题2解答
练习
1.求螺线
在对应于
的点处的切线方程.
解:化为参数方程
当
时对应点
斜率
∴切线方程为
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求其反函数的导数.
解:
方法1
方法2
2.设
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3.设
求
提示:分别用对数微分法求
答案:
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