大学文科高数第三章教材.ppt

3.1 微分中值定理 3.2 洛必达法则 小结 3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近 3.4 函数的单调性与凸性 二. 函数的凹凸性及拐点 3.5 函数的极值与最值的求法 二. 函数的最大值和最小值 3.6 弧微分 曲率 函数作图 三. 渐 近 线 四. 函 数 图 形 的 描 绘 定理3 (第二充分条件) 证 证毕 例2 解 图形如下 注意: 最值在区间 内部取得 最值在区间 端点处取得 最值在区间内部及端点处取得 步骤: 1.求驻点和不可导点: 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,最大者就是最大值,最小者就是最小值; 注意:如果连续函数在区间内只有一个极值,则这个极值就是最值 ( 最大值或最小值 ). 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 例2 解 得符合实际意义的唯一驻点 制作材料最省. 一. 函数单调性的判别法 定理1 证明略 注意： 定理2 定义:若函数在其定义域的某个区间内是 单调的，则该区间称为函数的单调区间. 利用导数求函数单调区间的一般步骤： 例1 解 单调递增区间为： 列表讨论： 单调递减区间为： 例2 解 例3 证 例4 证 1. 曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 定义 几何意义: 上凸函数 曲线弧在 的图形: 弦的上方 . 几何意义: 下凸函数 曲线弧在 的图形: 弦的下方 . 从几 何直 观上 看 ： 注意: 定理 1 证明略 例1 解 注意: 定义 2 注意: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2. 曲线的拐点及其求法 定理 2 证明略 方法1: 例2 解 非拐点 拐 点 列表讨论： 方法2: 证 证毕 例3 解 一. 函数极值的判别法 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点 统称为极值点 . 定义 定理1 (可导函数取得极值的必要条件) 注意： 例如, 例如, 函数的可能极值点： 驻点或导数不存在的点 . 结 论 定理2 (极值的第一充分条件) 证 证毕 例1 解 列表讨论： 例5 注意：洛必达法则是求不定式极限的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 例7 注 意： 例8 1) 对于其它类型的不定式, 不能直接应用洛必达法则, 步骤: 必须先将它化为 或 型, 再用洛必达法则! 例9 步骤: 步骤: 例10 记作 例11 例12 利用洛必达法则也可计算数列的不定式极限. 因此，对于数列的不定式极限，可先转 化为函数的不定式极限 . 利用洛必达法则对 后者求极限，则前者的极限亦然 . 洛必达法则 一. 泰勒公式 问题的提出： 问题: 办法: 分 析 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 定理1 拉格朗日型余项 拉格朗日型余项 证明略 拉格朗日型余项 马克劳林公式 . 注意: 马克劳林( Maclaurin,1698-1746，英国 ) 皮亚诺（Peano,1858-1932,意大利） 型余项的 马克劳林公式 . 皮亚诺型 余项的 解 代入公式,得 二. 函数的高阶多项式逼近 解 常用函数的马克劳林公式 马克劳林公式 . 皮亚诺型 余项 的 拉格朗日型余项 马克劳林公式 . 解 * 第三章 微分中值定理与导数的应用 3.1 微分中值定理 3.2 洛必达法则 3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近 3.4 函数的单调性与凸性 3.5 函数的极值与最值的求法 3.6 弧微分 曲率 函数作图 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点 统称为极值点 . 定义 定理1 证 证毕 定理2 几何解释: 证 证毕 注意: 例如: 又如: 洛尔定理的条件仅为充分条件，非必要 条件 . 定理3 几何解释: 拉格朗日中值公式 证 作辅助函数: 证毕 考察辅助函数: 作辅助函数: 辅助函数: Lagrange 中值定理 Rolle 中值定理 推论1 证 证毕 推论2 证 证毕 定理4 Cauchy 中值定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 Lagrange 中值定理 Rolle 中值定理 证 令 方法1 证毕 方法2 令 例1 证 例2 证 证 例3 例4 证 由上式得 定义 例如: 定理1 证明略 定理2 证明略 例1 例2 例3 例4 *