毕业论文--常微分方程中积分因子存在性研究.doc

常微分方程中积分因子存在性研究 作者：凌晶 指导老师：张海 摘要：本文讨论了一阶微分方程的积分因子存在的充要条件，主要通过一些特殊的变形方法来得到这九种类型的常微分方程积分因子的解法的通解，如：，，，，，，，，，这几类型各有特点但又紧密联系，并举例说明所得结果. 关键词：常微分方程；积分因子；充要条件；恰当微分方程. 1引言 一阶微分方程 +=0, （1） 求其解的方法是由其类型决定的.其中一类是方程（1）为恰当微分方程，也就是全微分方程，这种类型方程的左端恰为某个函数的全微分，即可表示成： 其通解为，而且方程（1）是全微分方程的充要条件是：.另一类型方程不满足，则它就不是全微分方程.若此时存在一个连续可微的函数使得为一恰当微分方程，即存在函数，使，则我们称为方程（1）的积分因子，此时方程（1）的通解就是. 2 各种类型积分因子的充要条件 由恰当微分方程的充要条件可得，函数为方程（1）的积分因子的充要条件为：，即 以上只是一般的常微分方程的积分因子的求法，在越来越多的题型中我们会遇到很多没有见过的题型也可用到积分因子的方法来求解，所学教材中给出了两种类型的积分因子，一种是只与有关的积分因子，另一种是只与有关的积分因子，接下来我会在这两种基础上再介绍几种类型的积分因子. 2.1 只与有关的积分因子 结论 一阶微分方程+=0具有只与有关的积分因子的充要条件是： 且积分因子 证明：假设积分因子为，则为全微分方程，则有，即 此时，若只与有关，即 则 ， 即 方程（1）有形为的积分因子的充要条件是： 此时， . 例1 求方程的积分因子和通解. 解： 则 只与有关 该方程有只与有关的积分因子 以乘以方程两边，得到： 通解为. 2.2 只与有关的积分因子 结论 一阶微分方程+=0具有形为的积分因子的充要条件是： 且积分因子. 证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有，即 此时，若只与有关，即 则， 即 方程（1）有形为的积分因子的充要条件是： 此时， . 例2 求方程的积分因子和通解. 解：， 只与有关 故方程有只与有关的积分因子 = 以乘以方程两边，得到： 通解为 . 2.3 形为的积分因子 结论3 方程（1的积分因子的充要条件是： 且积分因子. 证明：假设积分因子为，则为全 微方程，有， 即 令，则有 当时，整理得： 方程（1）有形为的充要条件是： 此时， . 例3 求方程的积分因子和通解. 解：， 方程有形为的积分因子 = 以乘以方程两边，得到： 通解为 . 2.4 形为的积分因子 结论4 方程（1）具有形为的积分因子的充要条件是： （，为不同时为0的常数） 且积分因子. 证明：假设积分因为为，则为全微 分方程，则有，即 令，则 则 即 方程（1）的积分因子的充要条件是： （，为不同时为0的常数） 此时， . 例4 求方程的积分因子和通解. 解：， 取，， 方程有形为的积分因子 以乘方程两边，得到： 整理得： 通解为： . 2.5 形为 的积分因子 结论5 方程（1）的积分因子的充要条件是： 且积分因子. 证明：假设积分因子为，则为 全微分方程，则，即 令，则， 进一步整理得： 方程（1）有形为的充要条件为： 此时， . 例5 求方程的积分因子和通解. 解：， 则 方程有形为的积分因子 以乘方程两边，得到： 通解为：. 2.6 形为的积分因子 结论6 方程（1）具有形为 的积分因子的充要条件是： 且积分因子. 证明：假设积分因子为，则为全 微分方程，则，即 令，则， 方程有形为的积分因子的充要条件是： 此时，. 例6 求方程的积分因子和通解. 解： ， 则 方程有形为的积分因子 以乘方程两边，得到： 整理得： 通解为： . 2.7 形为的积分因子 结论7 方程（1）有形如积分因子的充要条件是： 且积分因子. 证明：假设积分因子为，则 为全微分方程，则，即 令 ，则， 整理得： 方程（1）有形为的充要条件为：