2015届新课标高中数学(文)第一轮总复习第2章第14讲-幂函数.ppt

2．幂函数的图象与性质 幂函数的图象与性质，由α的取值不同而变得比较复杂，但过定点(1,1)是共同的，当α0时，幂函数的图象还过定点(0,0)，当α0时，图象不过原点．幂函数在(0，＋∞)上的单调性，从三个方面考查： (1)当0α1时，函数图象在区间(0,1)上总在直线y＝x的上方(xαx)，在区间(1，＋∞)上总在直线y＝x的下方(xαx)，所以函数图象在(0，＋∞)上成上凸姿势，函数是增函数，增长的速度越来越缓慢； (2)当α1时，函数图象在区间(0,1)上总在直线y＝x的下方(xαx)，在区间(1，＋∞)上总在直线y＝x的上方(xαx)，所以函数图象在(0，＋∞)上成下凸姿势，函数是增函数，增长的速度越来越快； (3)当α0时，函数图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(0,1)上函数的图象总在直线y＝x的上方(xαx)，在区间(1，＋∞)上总在直线y＝x的下方(xαx)．幂函数的奇偶性，一般先将函数式化为正指数幂或根式，再根据函数的定义域和函数奇偶性的定义进行判断． 要注意，幂函数的图象不经过第四象限． * 幂函数的概念 本题考查函数的概念，需要根据相应函数的定义列出等式或不等式，要特别注意幂函数的定义及其应用． 幂函数图象的应用 这是求函数表达式的一种常见题型．掌握幂函数的概念是基础，掌握幂函数在第一象限的图象，根据图象理解最基本的性质是关键．对于比较两个函数值的大小，先研究相等的情况，就容易做好解答了． －2　 幂函数性质的应用 幂函数的定义域是根据幂函数的表达式的特点来确定的．本题看成两个幂函数的和，前一个，α0，且要开偶次方，故幂的底数恒大于0，后一个要求底数不能为0，且底数的图象是开口向上的抛物线，故底数也要恒大于0. 【解析】(1)因为函数f(x)是幂函数， 所以m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2. 当m＝－1时，函数f(x)＝0，不符合要求； 当m＝2时，函数f(x)＝x－3，它在(0，＋∞)上是减函数． 故m＝2. (2)函数y＝0.7x是减函数，所以0.70.70.70.8. 函数y＝x0.7(x0)是增函数，所以0.80.70.70.7. 故0.80.70.70.8. (3)因为a＝0.71.31，b＝1.30.71，所以0a1b. 又函数y＝xm(x0)当m0时是增函数， 故实数m的取值范围是(0，＋∞)． 幂函数的综合应用 幂函数的图象与性质是本题考查重点，充分利用幂函数的图象与性质解不等式，要注意考虑问题全面． 【解析】由m2－2m－30，得－1m3. 又m∈Z，所以m＝0,1,2. 因为m2－2m－3为偶数，经验证，m＝1符合． 1