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微积分下第一分册872极坐标下计算省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

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2、二重积分变量替换公式设为一个给定二重积分,其中被积函数在积分区域D上连续,现作变量替换经过此变换后原来xy平面上区域D变换为uv平面而这个变换逆变换为上区域,假如这个变换满足:(1)在上含有一阶连续偏导数;(2)在上雅可比式(3)D与点之间有一一对应关系;则有第1页

二重积分变量替换公式面积元素雅可比行列式第2页

解例计算其中由轴、轴和所围成闭区域。则令即第3页

故第4页

平面上任意一点直角坐标(x,y),极坐标上式可看成是从极坐标平面到直角坐标平面一个变换,即对于平面上一点经过上式变换,且这种变换是一对一。平面上一点变成3、极坐标下计算二重积分极点原点r为点(x,y)到原点距离为向量(x,y)倾斜角度第5页

所以由二重积分变量替换公式,可得到极坐标系下二重积分改变公式为要计算极坐标系下二重积分,一样要把二重积分化为极坐标系下关于r和累次积分。第6页

二重积分化为累次积分公式(1)区域特征如图第7页

区域特征如图第8页

二重积分化为累次积分公式(2)区域特征如图第9页

二重积分化为累次积分公式(3)区域特征如图当积分区域为圆域、圆环域或部分圆域,宜采取极坐标。且被积函数又呈或时,注:第10页

解例1写出积分极坐标二次积分形式,其中积分区域圆方程为直线方程为第11页

解例2计算,其中D是由中心在原点,半径为a圆周所围成闭区域。.注:此积分在直角坐标系下无法计算。在极坐标系下.第12页

解例3计算其D为由圆及直线所围成平面闭区域.第13页

解例4求曲线和所围成图形面积.依据对称性可知:所求面积为第一象限部分面积4倍。由得交点在极坐标系下第14页

所求面积第15页

.二重积分在极坐标下计算公式小结第16页

计算二重积分基本步骤总结:1、画出积分区域D草图;2、依据被积函数特点和积分区域形状,选取适当坐标系;3、选取适当积分次序(若不是标准区域,应先将其分为若干个标准区域)4、确定积分限,从而把二重积分化为累次积分5、计算累次积分。第17页

练习题一、填空题:1、将òòDdxdyyxf),(,D为xyx222£+,表示为极坐标形式累次积分,为_____________________.2、将òòDdxdyyxf),(,D为xy-££10,10££x,表示为极坐标形式累次积分为______________.3、将òò+xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式累次积分为______________________.4、将òò2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式累次积分为______________________.第18页

5、将òò-+xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式累次积分为_______________,其值为_______________.二、计算以下二重积分:1、òò++Ddyxs)1ln(22,其中D是由圆周122=+yx及坐标轴所围成在第一象限内区域.2、òò+Ddyxs)(22其中D是由直线xy=,)0(3,,==+=aayayaxy所围成区域.3、òò--DdyxRs222,其中D是由圆周Rxyx=+22所围成区域.4、òò-+Ddyxs222,其中D:322£+yx.第19页

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