数值积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

7.3Romberg积分;我们希望找到一个简便方法,用近似公式F(h)组合,得到误差阶较高近似公式,使

(2)

此时,迫近F*误差为O(h2)

类似地,用组合产生迫近F*误差为O(h3)

近似公式等.下面我们给出一个详细组合方法.;把(1)式改写为

(3)

用h/2代替(3)式中h,得

(4)

用2乘(4)式再减去(3)式,消去含h项,得

(5)

令,且记

;那么(5)式可写为

(6)

这里,迫近误差为

再用h/2代替h,使(6)式变为

(7)

用4乘(7)式减去(6)式,消去含项,得

(8)

一样记

;(8)式能够写为

(9)

这里迫近误差为

还是用h/2代替h代入(9)式后,类似上述过

程,能够得到误差为

普通地,对,有迫近误差为

递推公式

(10)

也称为关于步长h外推公式.

表7-1列出了时,按(10)式产生

计算次序,表中各列左边黑体数字表示序号.

;表7-1

例1设带余项差分公式为;

(11)

导出含有误差为外推公式.

解令

用h/2代替h,得

(12)

为消去含项,用4乘(12)式减去(11)式,得;

从而有

(13)

这里

这时,迫近误差为.

重复用h/2代替h并消去含项

,得到迫近误差为

外推公式为;

注意(14)式中第二项分母为而不

是(10)式中.这是因为(11)式中余项

为关于幂次而不是??于h幂次.

7.3.2Romberg求积方法

Romberg求积方法是以复化梯形公式为基

础,应用Richardson外推法导出数值求积方

法.

回想7.2.1节复化梯形公式,分别把积分区;间[a，b]分为1,2,4等分结果列入表7-2.

表7-2

k

11

22

34

;我们还能够深入推导出它们递推关系.由