2002级东南高数(上)期终试卷.doc

东南大学2002级高等数学(上)期终试卷 （非电类用） 考试时间：2003年1月 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得 分 一、填空题（每小题3分，共18分） 。 2.曲线 处的切线通过原点。 3.若， 。 4.若，则 。 5. 。 6.微分方程满足条件 。 二、单项选择题（每小题4分，共16分） 1.若，则（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 2.已知，则 （ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 3.设，，，，若当， ，（ ） （A） （B）3； （C）2； （D）1。 4.圆所围成的平面图形的面积 可表示为（ ） （A）；（B）； （C）；（D）。 三、计算题（本题共6小题，满分37分） 1.（6分）求极限. 解:. 2.（6分）计算积分. 解: . 3.（6分）设， 求，. 解:，. 4.（7分）设，且满足关系式 ，又，. 解:，， 两边对x求导，得 ，得初值问题 特征方程为，， 方程(1)对应的齐次方程的通解为， 方程(1)的一个特解为， ∴方程(1)的通解为， 把初始条件代入，得 故。 5.（6分）计算积分. 解: 。 6.（6分）计算积分. 解：。 四、（6分）求微分方程满足初始条件，的特解. 解：，，则有，， ，， 代入初始条件，，得。 ∴，，，代入初始条件，得， 故所求特解为。 五、（8分）设，且，令， （1）；（2）讨论. 解：由，又，故， 且。 ， ， ， ，， ∴ ∵ ， ∴. 六、（9分）, （1）绕x轴旋转一周所得旋转体 的体积. （2）证明：在，. （1）解：， . （2）证明：设， 即 则。 ∵，， ∴由零点定理知，，使得， ∵， ∴， ∴在，. 七、（6分），， . 试证 . 证明：∵， ∴，从而当时，。 ∵ ， ∴， ∵，， ∴，即。 5 学 号 姓 名