线性代数（第5版)课件：矩阵相似.ppt

机动目录上页下页返回结束线性代数复习相似矩阵矩阵可对角化条件矩阵对角化的应用机动目录上页下页返回结束定义假设A是n阶方阵，如果存在数?和非零向量X，使得AX=?X称?是矩阵A的一个特征值，X是对应于?的一个特征向量。复习机动目录上页下页返回结束AX=?X非零向量特征向量对应特征值n阶方阵对应于特征值?的特征向量不唯一。注：求法AX=?X(?E–A)X=0|?E–A|=0特征方程|?E–A|=?–a11–a12…–a1n–a21?–a22…–a2n…………–an1–an2…?–ann特征多项式?E–A特征矩阵特征值特征向量机动目录上页下页返回结束特征值和特征向量的性质：An×nA－1A*aA+bEAm特征值矩阵A可逆矩阵的互不相同的特征值对应的特征向量线性无关性质一、相似矩阵引例则P－1AP=B1.定义设An×n,Bn×n,若存在可逆阵P,使P-1AP＝B则称A相似于B，记A~B.设2.性质（1）矩阵的相似关系是一种等价关系反身性(A~A)(因为E－1AE＝A)(由P－1AP＝B得:(由P－1AP＝B,Q－1BQ＝C得:Q－1(P－1AP)Q＝(PQ)－1APQ＝C)对称性(A~BB~A)传递性.(A~B,B~CA~C)A＝PBP－1＝(P－1)－1BP－1)（2）相似矩阵的幂仍相似。一般地若A~B，则f(A)~f(B)Bk＝(P－1AP)(P－1AP)…(P－1AP)＝P-1AkP)（3）可逆相似矩阵的逆矩阵也相似。(P－1AP＝B两边求逆矩阵得：P－1A－1P＝B－1)（4）相似矩阵有相同的特征多项式、特征值、行列式、迹和秩。迹(因为迹等于特征值之和)秩初等变换(∵AB)特征值行列式(行列式等于特征值之积)（特征多项式之根）P－1AP＝B给定An×n，与A相似的矩阵很多，即存在B及可逆矩阵P，使得P－1AP＝B～A，故从其中寻找一个“最简单的”矩阵作为这一相似类的代表。(是什么？怎么求？相应的P=?)与单位矩阵、数量矩阵相似的矩阵只有它自己(P－1(aE)P＝aE)仅次于数量矩阵aE的简单矩阵即对角矩阵，A能否相似于一个对角矩阵(称A可对角化问题)？二、矩阵可对角化条件定理1A有n个线性无关的特征向量即特征值则，P可逆记证:记线性无关=＝由定理1,矩阵A是否与一对角矩阵相似,只需考察A是否有n个线性无关的特征向量；若求出A的n个线性无关特征向量：,令就能使为对角阵，主对角线上的元素依次为所属的特征值定理2.An×n有n个不同特征值(充分不必要)定理3.A的每一个ki重特征值对应ki个线性无关的特征向量An×n相似于对角矩阵即每个特征值的代数重数等于其几何维数例1三个特征值的代数重数、几何维数均为1.——X1=(1,-1,0)T——X2=(1,-1,1)T——X3=(0,1,-1)T例2代数重数、几何维数均为1.代数重数、几何维数均为2.——X1=(1,1,2)T——X2=(1,1,0)T,X3=(-1,0,1)T可以与对角形矩阵相似可以与对角形矩阵相似A只有两个线性无关特征向量(二重特征根只对应一个线性无关特征向量)，A不可对角化。但A可与若当形矩阵相似：注:设,由AP＝PJ求出a,b,c，确定P.?例3代数重数、几何维数均为1.代数重数2，几何维数1.——X1=(0,0,1)T——X2=(1,2,-1)T解:由已知，B的特征值为1-3+1=-1，8-6+1=3，27-9+1=19解:由于特征向量是3维向量,可知A是3阶方阵,而A有3个不同的特征值,所以A可对角化,即存在可逆矩阵P,使得求方阵A