数列求和方法及数学归纳法.doc

数列求和 一、常用公式法 直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有： 等差数列求和公式: 等比数列求和公式: 二、错位相减法 可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列. 例1：求和： . 设 ，其中 为等差数列， 为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和. 解： ， 两端同乘以 ，得 ， 两式相减得 于是 . 说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 三、裂项相消法 适用于? ? 其中{ ? }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等 例2 求数列{1/(＋)}的前n项和 解：　∵1/(＋)＝－　(n＋1－n＝1) 　　　　　　　　　　　分母有理化　　　∴1/(＋)＋1/(＋)＋…＋1/(－)　　＝－1＋－＋…＋－　　　＝－1说明：对于分母是两二次根式的和，且被开方数是等差数列，　　　利用乘法公式，使分母上的和变成了分子上的差，从　　　而Sn又因中间项相消而可求。 四、分组转化法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和． 例3 已知集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的个数，以及这些元素的和 解：　由 210＝1024，211＝2048　　　知 210＋9×10－4＜2000　　　 　211＋9×10－4＞2000　　　∴ A中有10个元素,记这些元素的和为S10，则　　　　　　　　　　　　　(首项为9，公差为9的等差数列)　　　S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10　　　　　(首项为2，公比为2的等比数列)　　　　 　＝2(210－1)＋99×5－40＝2501 说明：本题中A是一个集合，集合中的元素是不可重复的，　　　也是没有顺序，所以集合与数列是不同的，但在　　　求和时与10个元素的顺序无关，所以可借用数列　　　的方法求和。 五、配对求和法 对一些特殊的数列，若将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对求和，然后再求Ｓｎ． 例4, 设数列的首项为，前项和满足关系式： （1）求证：数列是等比数列。 （2）设数列的公比为，作数列使，求。 （3）对（2）中的数列求和：。 （1997年上海高考试题） 解: 1）略；（2），（提示：） （3） （提示：配对求和 ） 六、数学归纳法 第一数学归纳法：（1）已知命题成立； （2）若命题成立； 由（1）（2）可知命题都成立。 简单实例：证明； 第二数学归纳法：（1）已知命题成立； （2）若； 由（1）（2）命题都成立。 应用的注意点： （1）两步缺一不可 （2）第二步证明是必须利用归纳假设； 例5．用数学归纳法证明： 　　。 　　证明：i) 当n=2时，左式=， 　　右式=， ∵ ，　∴ ， 　　即n=2时，原不等式成立。 　　ii)假设n=k(k≥2, k∈Z)时，不等式成立，即 　　, 　　则n=k+1时，　　左边= 　　右边=，要证左边右边， 　　只要证， 　　只要证， 只要证 4k2+8k+44k2+8k+3 　　只要证43。 　　而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式右式。 　　由i), ii)可知，原不等式对n≥2，n∈N均成立。 七 .倒序相加法： 如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。 例6. 求和 解析：据组合数性质，将倒序写为 以上两式相加得： 八. 待定系数法 类似等差数列，如果是关于的次式，那么它的前项和是关于的次式，且不含常数项。因此，只要求出这个次式的各项系数即可。 例7. 求和 解析：由于通项是的二次式，则是的三次式，且不含常数项。 设，令得 解得 所以 九．无穷等比数列各项和 符号： 显然：1），不存在 2），，不存在 3），不存在 4）， 定义：我们把的无穷等比数列前n项的和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，即S=() 。 注：1.无穷等比数列前n项和与它的各项和S的区别与联系； 2.前n项之和是数列中有限个项的和,而无穷等比数列各项的和是数列中所有的项的和,它们之间有着本质的区别。 3.对有无穷多项的等比数列,我们是不可能把它们所有的项一一相加的,而是通过对它的前n项之和取极限运算而求