2026版步步高大一轮高考数学复习第三章 §3.4 函数中的构造问题含答案.docx
2026版步步高大一轮高考数学复习第三章§3.4函数中的构造问题§3.4函数中的构造问题
重点解读函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
题型一利用f(x)进行抽象函数构造
命题点1利用f(x)与x构造函数
例1(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf(x)0，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log319·f?log319，则a，
A.abc B.cba
C.cab D.acb
答案A
解析令g(x)＝xf(x)，x∈R，
因为f(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
又因为当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf(x)0，
所以当x∈(－∞，0]时，g(x)＝f(x)＋xf(x)0，所以g(x)在(－∞，0]上单调递增，
又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，
又因为a＝30.2·f(30.2)＝g(30.2)，
b＝ln2·f(ln2)＝g(ln2)，
c＝log319·f?log319＝glog
－20ln2lne＝1＝3030.2，
所以g(－2)g(ln2)g(30.2)，即abc.
思维升华(1)出现nf(x)＋xf(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).
(2)出现xf(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(
命题点2利用f(x)与ex构造函数
例2函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有f(x)－f(x)0，则()
A.f(－1)0 B.f(3)ef(2)
C.e13f12e12f13
答案B
解析设g(x)＝f
则g(x)＝f
由条件可知，f(x)－f(x)0，所以g(x)0，
则函数g(x)在R上单调递增，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0，
由f(-1)e-1f(0)e0，得f(
由f(3)e
得f(3)ef(2)，故B正确；
由f13e13f12e1
由f(3)e3f(4)e4，得ef(3)
思维升华(1)出现f(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).
(2)出现f(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(
命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造函数
例3(2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sinx＋f(x)cosx0，则()
A.f?π33f?π6 B.f?π6
C.f?π33f?π6 D.f?π
答案B
解析令F(x)＝f(x)cosx，x≠π2＋
故F(x)＝f(x
故F(x)＝f(x)cosx在
故Fπ6Fπ3，即fπ6cosπ6fπ3cosπ
思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sinx，
F(x)＝f(x)sinx＋f(x)cosx；
F(x)＝f
F(x)＝f
F(x)＝f(x)cosx，
F(x)＝f(x)cosx－f(x)sinx；
F(x)＝f
F(x)＝f
跟踪训练1(1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f(x).若对任意的x∈(0，π)，有f(x)sinx－f(x)cosx0，则关于x的不等式f(x)2f?π6sinx的解集为(
A.0，π3 B.0，π6 C.
答案B
解析令函数g(x)＝f(x)sinx，x
则g(x)＝f(
因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)2f?π6sinx?f
即g(x)gπ6，解得0x
所以原不等式的解集为0，π
(2)(2024·南通模拟)已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf(x)2f(x)，则()
A.4e2f(2)16f(e)e2f(4)
B.e2f(4)4e2f(2)16f(e)
C.e2f(4)16f(e)4e2f(2)
D.16f(e)e2f(4)4e2f(2)
答案C
解析方法一设g(x)＝f(x)x2，x∈
∵xf(x)2f(x)，
∴g(x)＝xf(x
则g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴g(2)g(e)g(4)，
∴f(2)4f
即4e2f(2)16f(e)e2f(4)，故C正确.
方法二设f(x)＝1，又e2164e2，C正确.
(3)(2024·扬州模拟)已知函数f(x)的导数为f(x)，对任意实数x，都有f(x)－f(x)0，且f(1)＝1，则f(x)ex－1的解集为()
A.(－∞，1)
B