2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第三章 进阶篇 不等式证明方法 进阶1 指对放缩含答案.docx
2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第三章进阶篇不等式证明方法进阶1指对放缩进阶篇不等式证明方法
进阶1指对放缩
切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质.
题型一指对切线放缩
常见的指对切线放缩
例1证明不等式：ex-ln(x+2)0.
思维升华指对同时出现时，一般求导难以解决，常见的方法有隐零点、同构、放缩等.
跟踪训练1当x0时，证明：ex2-xlnxxex+1e
题型二指对增强放缩
1.与ex相关的增强放缩
(1)ex≥x+1ex≥1+x+x22(x≥0)ex=1+x1！+x22！+x33！+…+xnn
(2)ex≥exex≥ex+(x-1)2(x≥0).
(3)通过变换得到的其他不等式
把ex≥x+1中的x换成lnx，可得lnx≤x-1.
把ex≥x+1中的x换成x-1，可得ex≥ex.
把ex≥x+1中的x换成-x，可得e-x≥-x+1，取倒数后可得ex≤11-x(x
把ex≥x+1中的x换成x+lnx，可得ex+lnx=xex≥x+lnx+1(朗博同构).
2.与lnx相关的增强放缩
(1)lnx≤x-1ln(x+1)≤xlnx≥1-1xln(x+1)=x-x22+x33-x44+…+(-1)nxn+1n+1
(2)lnx≤xe
(3)飘带不等式：2(x-1)x+1≤lnx≤12
(4)通过变换得到的其他不等式
把lnx≤x-1中的x换成ex，可得ex≥x+1.
把lnx≤x-1中的x换成xe，可得lnx≤x
把lnx≤x-1中的x换成x+1，可得ln(x+1)≤x.
把ln(x+1)≤x中的x换成1n，可得ln(n+1)-lnn1
把ln(x+1)≤x中的x换成-1n+1，可得ln(n+1)-lnn
例2证明：ex+1x≥2-lnx+x2+(e-2)
思维升华在利用ex≥x+1或ex≥ex进行切线放缩时，不等号右侧的增长速度比左侧的快，显然不成立，此时选用增强版的曲线放缩.
跟踪训练2证明：对任意x0，不等式ex+x2-(e+1)x+ex2成立
答案精析
例1证明要证ex-ln(x+2)0，
即证exln(x+2)，
又ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，
令t=x+2，则ln(x+2)=lnt≤t-1=x+1，
即ln(x+2)≤x+1，当且仅当x=-1时等号成立，
故ex≥x+1≥ln(x+2)，等号成立的条件不一致，则exln(x+2)，结论得证.
跟踪训练1证明要证当x0时，ex2-xlnxxex+1e
只需证ex-lnxex+1e
下证-lnx≤1e
即证ln1x≤1
令t=1x，即证lnt≤1
显然成立，且等号成立的条件是t=e，
即x=1e
又ex≤ex，当且仅当x=1时等号成立，
由不等式的基本性质及等号成立的条件不一致得原不等式成立.
例2证明由题意知x0，因为ex≥ex+(x-1)2，
所以要证ex+1x≥2-lnx+x2+(e-2)x
只需证ex+(x-1)2+1x≥2-lnx+x2+(e-2)x
即证ln1x≤1x
令t=1x，即证lnt≤t-1，显然成立
结论得证.
跟踪训练2证明因为ex≥ex，
所以只需证ex+x2-(e+1)x+ex2
即证x2-x+ex2
即证x2-2x+1+x+ex-12
即证(x-1)2+x+e
由基本不等式得x+ex≥2e，当且仅当x=e
而2e3，(x-1)2≥0，故原不等式成立，
结论得证.进阶2飘带不等式
题型一飘带不等式的理解
在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处曲线可以近似的用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，所以有时采用曲线来代替直线.
12x-1xlnx
2(x-1)x+1lnx1
例1证明：
(1)12x-1xlnx
(2)2(x-1)x+1lnx1
题型二飘带不等式的应用
例2(2025·菏泽模拟)若函数f(x)在[a，b]上存在k∈(a，b)，使得f(k)=f(b)-f(a)b-a，则称k为f(x)在区间(a，b)上的“奇点”，若存在x1，x2(ax1x2b)，使得f(x1)=f(b)-f(a)b-a，f(x2)=f(b)-f(a)b-a，则称
(1)已知函数f(x)=x3-85x2是区间[0，m]上的“双奇点函数”，求实数m
(2)已知函数f(x)=2lnx-ax2+1.
①当a=0时，若1为f(x)在区间[m，n]上的“奇点”，证明：m+n2；
②证明：对任意的a0，f(x)在区间[m，n]上存在唯一“奇点”.
思维升华(1)利用飘带不等式放