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第六节对数与对数函数

1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.

2.通过具体实例，了解对数函数的概念；能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）.

1.化简lg2+lg5－lg8lg50

A.1 B.2

C.3 D.4

解析：A原式＝lg2×58lg50

2.（2024·雅安一模）函数y＝log0.5

A.［23，1） B.（23，＋

C.（0，1] D.（23，

解析：D函数y＝log0.5（3x－2）有意义，则有3x－20，log0.5（3

3.已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（）

A.25 B.5

C.259 D.

解析：C由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log453

4.函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点是.

答案：（2，2）

解析：当x＝2时，函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的值为2，所以图象恒过定点（2，2）.

5.已知函数f（x）＝loga（2x－a）在区间［23，34］上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是

答案：（12，

解析：由题意得a1，2×23－a

1.换底公式的变形

（1）logab·logba＝1，即logab＝1logba（a，b均大于0

（2）logambn＝nmlogab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈

2.换底公式的推广

logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）.

3.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

1.（多选）如图是三个对数函数的图象，则（）

A.a＞1 B.0＜b＜1

C.2b＜2c＜2a D.c＜b

解析：ABC由结论3可知A、B、C正确.

2.log89×log332＝.

答案：10

解析：由结论1知，log89×log332＝23log23×5log32＝10

3.log23·log34·log42＝.

答案：1

解析：由结论2知，log23·log34·log42＝log22＝1.

对数式的运算

1.设alog34＝2，则4－a＝（）

A.116 B.

C.18 D.

解析：B法一因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19

法二因为alog34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，

2.（2024·九江模拟）log535＋2log122－log5150－log5

A.1 B.2

C.3 D.4

解析：B原式＝log535－log5150－log514＋log12（2）2＝log535150×14＋log122＝log5125－1＝log55

3.（2024·济宁模拟）log225·log3（22）·log59＝.

答案：6

解析：法一log225·log3（22）·log59＝log252·log3232·log532＝6log25·log32·log53

法二log225·log3（22）·log59＝lg25lg2·lg（22）lg3·lg9lg5＝

练后悟通

1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3.ab＝N?b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

对数函数的图象及应用

【例1】（1）函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

（2）已知函数f（x）＝｜lnx｜.若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a＋4b的取值范围是（）

A.（4，＋∞） B.[4，＋∞）

C.（5，＋∞） D.[5，＋∞）

答案：（1）A（2）C

解析：（1）当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B，D中的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，B、D错误；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A，C中的曲线，此时函数y＝－x＋a