微专题9　平面向量与三角形的“四心”.docx

平面向量与三角形的“四心”

在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.

一、平面向量与三角形的重心

【例1】已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（）

A.外心 B.内心

C.垂心 D.重心

解析：D因为动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），所以AP＝λ（AB＋AC），取BC中点D，连接AD（图略），则AP＝2λAD，则动点P的轨迹一定过△ABC的重心，故选D.

点评设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①OA＋OB＋OC＝0；②PO＝13（PA＋PB＋PC）；③动点P满足AP＝λ（AB＋AC）或OP＝OA＋λ（AB＋AC），λ∈[0，＋∞），则动点P经过三角形的重心

在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝.

答案：－4

解析：设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以BO＝23BD＝23（BA＋AD）＝－23AB＋23×12AC＝－23AB＋13AC，所以λ＝－23

二、平面向量与三角形的垂心

【例2】已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足OP＝OA＋λAB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC（λ

A.重心 B.外心

C.垂心 D.内心

解析：COP－OA＝λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC），AP＝λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC），BC·AP＝λ（BC·AB｜AB｜cosB＋BC·AC｜AC｜cosC）＝λ（｜BC||AB｜

点评设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；②｜OA｜2＋｜BC｜2＝｜OB｜2＋｜CA｜2＝｜OC｜2＋｜AB｜2；③动点P满足AP＝λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜cosB＋

P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的（）

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

解析：D由PA·PB＝PB·PC，得PA·PB－PB·PC＝0，即PB·（PA－PC）＝0，即PB·CA＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D.

三、平面向量与三角形的内心

【例3】若△ABC的三边为a，b，c，有a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则O为△ABC的（）

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

解析：B∵OB＝OA＋AB，OC＝OA＋AC，∴a·OA＋b·OB＋c·OC＝a·OA＋b（OA＋AB）＋c（OA＋AC）＝（a＋b＋c）·OA＋b·AB＋c·AC＝0，∴AO＝bca＋b＋c（ABc＋ACb），∵ABc，ACb分别是AB，AC方向上的单位向量，∴向量ABc＋ACb平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠

点评设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜AB｜OC＋｜BC｜OA＋｜CA｜OB＝0（或aOA＋bOB＋cOC＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长）；②动点P满足AP＝λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜），

在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（

A.1063

C.43 D.62

解析：B根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍.在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则12bcsinA＝12（a＋b＋c）r，解得r＝263，所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×263＝763.

四、平面向量与三角形的外心

【例4】在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M形成的图形必经过△ABC的（

A.垂心 B.内心

C.外心 D.重心

解析：C如图所示，设线段BC的中点为D，则AB＋AC＝2AD，∵AC2－AB2＝2AM·BC，∴（AC＋AB）·（AC－AB）＝2AM·BC，∴BC·（AB＋AC－2AM）＝0，∴BC·MD＝0，即MD⊥BC且平分BC.因此