平面向量与三角形四心的探究.pdf
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平面向量与三角形四心.docx
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的 HYPERLINK /s?q=%E5%9E%82%E5%BF%83ie=utf-8src=wenda_link \t _blank 垂心 PA?PB=PB?PC=PA?PC(内积）
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心 |PA|2=|PB|2=|PC|2 （AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+
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平面向量中的三角形“四心”问题.pptx
微专题突破四平面向量中的三角形“四心”问题第二章平面向量
在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍：
1.重心
2.垂心
3.内心
4.外心
解如图，延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1.∴点O是△AB1C1的重心.从而S，其中S表示△AB1C1的面积.
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心√
又λ∈[0，＋∞)，
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
A.外心
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平面向量中的三角形四心问题.doc
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题
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平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
重心（barycenter)
三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：
结论2：
二、垂心(orthocenter)
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：
结论
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平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
重心（barycenter)
三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：
结论2：
二、垂心(orthocenter)
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：
结论4：
三、外心(circumcenter)
三角形三条
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平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
重心（barycenter)
三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：
结论2：
二、垂心(orthocenter)
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：
结论4：
三、外心(circumcent
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平面向量基本定理与三角形四心
已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
如图2延长与边相交于点则
图1
图2
推论是内的一点，且，则
有此定理可得三角形四心向量式
是的重心
是的内心
是的外心
是的垂心
证明：如图为三角形的垂心，
同理得，
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
4.2三角形“四心”的相关向量问题
一．知识梳理：
四心的概念介绍：
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
(2) 垂心：高线的交点，高线与对
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微突破 平面向量与三角形的“四心”.docx
平面向量与三角形的“四心”
在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.
一、平面向量与三角形的重心
（1）已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（）
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
（2）在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝.
听课记录
规律方法
设O是△ABC的重心，P为平
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微专题9 平面向量与三角形的“四心”.docx
平面向量与三角形的“四心”
在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.
一、平面向量与三角形的重心
【例1】已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（）
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
解析：D因为动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），所以AP＝λ（AB＋AC），取BC中点D，连接AD（图略），则A
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平面向量题型三 三角形“四心”与向量结合.doc
题型三 三角形“四心”与向量结合
(一)平面向量与三角形内心
1、O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
2、已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P是三角形的（???）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3、在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的： （ ）
Ａ 外心
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三角形四心及向量.doc
WORD完美格式
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专业知识编辑整理
三角形“四心”的向量性质及其应用
一、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）
命题一：已知是不共线的三点，是内一点，若．则是的重心．
命题二：点是三角形的重心则
变式：已知分别为的边的中点．则．
变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，
则．
二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点)
命题二：已知是
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三角形-四心-与向量综合问题的构造过程探究.pdf
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三角形四心(向量形式).doc
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三角形“四心”向量形式的充要条件应用
在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：
知识点总结
1）O是的重心;
若O是的重心，则故;
为的重心.
2）O是的垂心;
若O是(非直角三角形)的垂心，则
故
3）O是的外心(或)
若O是的外心
则
故
4）O是内心的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成：
O是内心的充要条件也可以是
若O是的内心，则
故 ;
的内心;
向量所在
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三角形四心的向量表示课件.ppt
***三角形四心的向量表示三角形“四心”的向量表示三角形四心的向量表示一、外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明外心定理证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．OO三角形四心的向量表示点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。到的三顶点距离相等。故是解析：由向量模的定义知的外心?，选B。O是的外心若为内一点，则是的（????）A．内心???????B．外心??????C．垂心??
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三角形四心的向量表格示.ppt
* 三角形“四心”的向量表示 一、 外心 A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 证明外心定理 证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ΔABC外接圆的圆心． 因而称为外心． O O 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等相关
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三角形“四心”向量问题.doc
向 量 专 题 复 习
江西省特级教师 龚晓洛
一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得，是方向上的单位向量，是方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在∠BAC的角平分线上，故点P的轨迹过△ABC的内心，选B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
练习：在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C在∠AOB的平分线上，且，则=__