三角形“四心”向量问题.doc

向 量 专 题 复 习 江西省特级教师 龚晓洛 一、与三角形“四心”相关的向量问题 题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由已知得，是方向上的单位向量，是方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在∠BAC的角平分线上，故点P的轨迹过△ABC的内心，选B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 练习：在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C在∠AOB的平分线上，且，则=_________________. 略解：点C在∠AOB的平线上，则存在使==, 而，可得，∴. 题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由已知得，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过△ABC的重心，选C. 题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 解：由已知得， 由正弦定理知，∴， 设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A . 题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 解：由已知得， ∴ === 0， ∴，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心，选B. 题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 解：设BC的中点为D，则， 则由已知得， ∴ === 0 . ∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心. 选C . 题6：三个不共线的向量满足=+) == 0，则O点是△ABC的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 解：表示与△ABC中∠A的外角平分线共线的向量，由= 0知OA垂直∠A的外角平分线，因而OA是∠A的平分线，同理，OB和OC分别是∠B和∠C的平分线，故选C . 题7：已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点 解：= ==, 由平行四边形法则知必过AB边的中点，注意到，所以P的轨迹在AB边的中线上，但不与重心重合，故选D. 题8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：若= 0, 则，以、为邻边作平行四边形OAC1B，设OC1与AB交于点D，则D为AB的中点，有，得，即C、O、D、C1四点共线，同理AE、BF亦为△ABC的中线，所以O是△ABC的重心. 选C . 题9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由已知得， ∴，即= 0，由上题的结论知O点是△ABC的重心. 故选C . 题10：已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由，则，即， 得，所以. 同理可证，. ∴O是△ABC的垂心. 选D. 题11：已知O为△ABC所在平面内一点，满足=，则O点是△ABC的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 解：由已知得 = == 0 = 0，∴⊥. 同理，.