三角形四心与向量典型问题分析.doc

- PAGE 1 - 三角形四心与向量的典型问题分析 向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。 在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。 下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。 一、“重心”的向量风采 【命题1】 已知是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图⑴. M M 图⑵ 图⑵ 图⑴ 【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心. 【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵. 二、“垂心”的向量风采 【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心． 【解析】 由，得，即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶. 图⑷ 图⑷ 图⑶ 【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心． 【解析】 由题意，由于， 即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷. 三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知为所在平面上的一点，且，， ．若，则是的内心． 　 图⑹ 图⑹ 图⑸ 【解析】 ∵，，则由题意得， ∵， ∴．∵与分别为和方向上的单位向量， ∴与平分线共线，即平分． 同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸. 【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心． 【解析】 由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹. 四、“外心”的向量风采 【命题7】 已知是所在平面上一点，若，则是的外心． 图⑺ 图⑺ 图⑻ 【解析】 若，则，∴，则是的外心，如图⑺。 【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心。 【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻。