专题06 等腰、等边三角形与全等三角形综合问题之六大题型（原卷版）.docx
专题06等腰、等边三角形与全等三角形综合问题之六大题型
根据等腰、等边三角形的性质求解
例题：（2023下·湖南张家界·八年级统考期末）如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．
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(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【变式训练】
1．（2022上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，已知中，为上一点，，为外部一点，满足，连结，与交于点，且．
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(1)求证：；
(2)若，求的度数．
根据等腰、等边三角形的三线合一证明
例题：（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，在中，，于点D，是的外角的平分线，
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(1)求证：；
(2)若平分交于点N，判断的形状并说明理由.
【变式训练】
1．（2023上·安徽池州·八年级统考期末）如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．
(1)求证：；
(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．
2．（2023下·全国·七年级期末）如图①，已知点D在线段上，在和中，，，，，且M为的中点．
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(1)连接并延长交于N，写出线段与的数量关系：；
(2)写出直线与的位置关系：；
(3)将绕点A逆时针旋转，使点E在线段的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
等腰、等边三角形的性质与判定
例题：（2022上·江苏南通·八年级统考期末）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，．
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(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校考期末）在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．
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(1)如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形；
(2)如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形．
2．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知平分，于点，于点．
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(1)探究：如图2，点是上任意一点（不与、重合），连接、，问题：请判断与的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，连接．问题：
①垂直平分吗？请说明理由．
②若，，求的周长．
等腰、等边三角形共点手拉手问题
例题：（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期末）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．
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(1)求证：；
(2)求证：；
(3)判断的形状，并说明理由．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．
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(1)如图1，当时，
①、的形状是____________；
②求证：．
(2)若，
①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
等腰、等边三角形中动点探究问题
例题：（2022上·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），连接，作，，相交于点E．
(1)当时，求证：；
(2)当是等腰三角形时，求的度数．
【变式训练】
1．（2022上·湖北十堰·八年级统考期末）已知：在中，，．
(1)如图，点D在边上，点E在AC边上，，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
(2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且，BE与CD交于点F．若是等腰三角形，求的度数．
2．（2023上·广西南宁·八年级校考期末）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、
(1)如图1，若点是的中点时，求证：
(2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由．
(3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度．
等腰、等边三角形中新定义型探究问题
例题：（2022上·福建福州·八年级校考期末）定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．
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(1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则=；
(2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：
①点是的费马点；
②．
【变式训练】
1．（2023下·江苏淮安·七年级校联考期末）阅读理解：
【概念学习】
定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两