等腰直角三角形的全等问题.doc

等腰直角三角形中的全等问题 在证明三角形全等时，我们常常遇到图形中有等腰直角三角形，由于等腰直角三角形有一组直角边相等，恰恰可以为我们证明三角形全等提供必要的条件，现举几例说明。 2、已知：在等腰直角△ABC中， ∠BAC=90 °，AB=AC,过点A作直线FG,过点B做BD ⊥FG于D,过点C做CE ⊥FG于E,求证：DE=BD-CE 分析：题中有几个直角，往往可以得到许多角互余，所以有一些角相等，题中有AB=AC，我们可以得到AB与AC所在的三角形（△ABD与△CAE）全等，则BD=AE,AD=CE,结论及可证明。 证明（略） 结论: 一组直角边相等， 思路1:可以观察两边是否在一个三角形中，若在，即这个三角形是等腰三角形 思路2：若不在一个三角形中，往往可得到其所在的两个三角形有一组对应边相等，为证三角形全等奠定条件。 练习： 3、在等腰直角△ABC中， ∠BAC=90 °，AB=AC,BD平分∠ABC,过点C做BD的垂线CE,垂足为E, 求证：CE=1/2 BD A A C B D E D A D B A D C B A D E 提示：可通过角平分线构建全等形，即延长CE交BA的延长线于F,则△BEF与△BEC全等，所以CF=2CE,只需证明CF=BD即可，即证明△ABD与△ACF全等。 4、在等腰直角△ABC中， ∠BAC=90 °，AB=AC,点D为AC的中点，AF⊥BD于G,过点C做CE∥AB,交AF的延长线于点E,求证：EF=DF 提示：要证明结论成立，需证明EF与DF所在的两个三角形△CFD与△CFE全等即可。关键差一组边或一组角相等，有题中条件，很容易可证明△ABD与△CAE全等，可为证明△CFD与△CFE全等提供帮助。 C C C A B E D F G G G G G G G F G B F G A B F G D A B F G D A B F E C D A B F 5、如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°,求证： （1）EC=BD (2)EC⊥BD (3) (4)S△ADE=S△ABC A A C B D F E 6、已知：在等腰直角△ABC中， ∠BAC=90 °，AB=AC,E为AC上一点，CD⊥BE于D,连接AD,若AD=2，CD=3，求BD的长。 A A C D B 提示：由于等腰直角三角形的特征，把CA绕点A逆时针旋转90°，即可与BA重合，所以，可把DA同样处理，使之旋转到点E处，则△CAD与△BAE全等，即可得到结论。 在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D是AC中点，∠ADF=∠CDB，连接CF交BD于E，求证：BD⊥CF． 7．（2011秋?硚口区期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F． 求证：(1)DE=DF (2) ∠DEF=45°． 8（2014秋?武汉校级月考）如图，BD是等腰直角△ABC的腰AC上的中线，AE⊥BD交BD、BC于E、F， 求证：（1）∠ABD=∠CAF； （2）∠ADB=∠CDF． 9．（2011秋?嘉陵区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，等腰直角三角板ADE如图放置，点D恰是AC的中点，AC=2AB． （1）求证：△EAB≌△EDC． （2）判断△EBC的形状．（有些角用数字表示更醒目） 10．（2008秋?自贡期末）在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G． 求证：（1）BD=CG；（2）DF=GE． 11．如图，锐角△ABC分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N． 求证：EM+FN=AB． 12．如图1，已知A（0，2）、B（-1，0）两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC． （1）求点C的坐标； （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． 13如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E． （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若AB=6，求△DEB的周长． 如图，△CAB，△CDE都是等腰直角三角形，M是DB中点，求证：CM⊥AE． 如图，△ACE为等腰直角三角形，∠ACE=90°，B为AE上一点，△ABC经过旋转到达△EDC的位置，AC= cm，（1）∠DEC=_______°； （2）求四边形CBED的面积； （3）连结BD，若AB=1cm，求线段BD的长． 已知△